Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán [5]
Cho các số dương $a,. b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc\ge 1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^4+b^4+c}+\dfrac{1}{b^4+c^4+a}+\dfrac{1}{c^4+a^4+b}\le 1$$

Korea-1999

[WhjteShadow]

À cái bài này nhìn phát là biết ngay dùng $Cauchy-Schwarz$ dưới mẫu
Ta thấy :
$\frac{1}{a^4+b^4+c}=\frac{1+1+c^3}{(a^4+b^4+c)(1+1+c^3)}\leq \frac{1+1+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2}$
Tương tự và cộng lại ta có:
$\frac{1}{a^4+b^4+c}+\frac{1}{b^4+c^4+a}+\frac{1}{c^4+a^4+b}\leq \frac{6+a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^2}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{6+a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2}\leq 1$
$\Leftrightarrow 6+a^3+b^3+c^3\leq a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(*)$
Nhưng thực ra bđt này chỉ là hệ quả của 2 bđt sau:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3(1)$
Và $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3(2)$
Với BĐT (1) thì ta chỉ cần $AM-GM$ trực tiếp 3 số và để ý $abc=1$
Còn với bđt (2) thì ta viết lại thành $a^4+b^4+c^4\geq \sqrt[3]{abc}(a^3+b^3+c^3)$
Và nó chỉ là phép cộng của 3 bđt đơn giản($AM-GM$ 12 số):
$10a^4+b^4+c^4\geq 12.\sqrt[3]{abc}a^3$
$10b^4+c^4+a^4\geq 12.\sqrt[3]{abc}b^3$
$10c^4+a^4+b^4\geq 12.\sqrt[3]{abc}c^3$
Vậy cả (1) và (2) đc chứng minh~> (*) Đúng ~> BĐT ban đầu đúng
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-07-2012 - 17:07

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán [5]
Cho các số dương $a,. b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc\ge 1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^4+b^4+c}+\dfrac{1}{b^4+c^4+a}+\dfrac{1}{c^4+a^4+b}\le 1$$

Korea-1999

Một ý tuong khác :
Ta có : $4(a^{4}+b^{4})= (a^{4}+b^4+b^4+b^4)+(b^{4}+a^4+a^4+a^4)$
$\geq 4a^3b+4b^3a$$\Leftrightarrow a^{4}+b^4\geq a^3b+b^3a= ab(a^{2}+b^2)\geq \frac{1}{c}.(a^{2}+b^2)= \frac{a^{2}+b^2}{c}$
$\Rightarrow a^4+b^4+c\geq \frac{a^2+b^2}{c}+c= \frac{a^2+b^2+c^2}{c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^4+b^4+c}\leq \frac{c}{a^2+b^2+c^2}$
TT có 2 cái nua rồi cộng vào :
$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}$
Và ta chỉ cần CM :
$a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$
Đúng vì :
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2= (a+b+c)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)\geq 3(a+b+c)$
$\Rightarrow a+b+c\leq a^2+b^2+c^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 18-07-2012 - 20:12