Chủ đề này có 3 trả lời

[huyentrang97]

CM : $\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$
Mong mọi người giúp, có cách nào khác ngoài cách bình phương hai vế để cm BDT này không???

[BlackSelena]

CM : $\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$
Mong mọi người giúp, có cách nào khác ngoài cách bình phương hai vế để cm BDT này không???

Với $\left |a \right | < \left | b \right |$ thì bđt hiển nhiên đúng.
$\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \geq a^2 - 2\left | ab \right |+b^2 $
$\Leftrightarrow \left | ab \right | \geq ab:true$
X_X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 20-07-2012 - 19:06

[triethuynhmath]

$\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \geq a^2 - 2\left | ab \right |+b^2 $
$\Leftrightarrow \left | ab \right | \geq ab:true$
X_X

Em mắc 1 sai lầm khá nặng là bình phương 2 vế mà không rõ 2 vế có không âm hay không.Chẳng hạn
$-2< 1$ nhưng $4> 1$.Mặt khác đề bài hoàn toàn không nói $\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}\geq 0$ nên ta không thể tùy tiện mà biến đổi tương đương bình phương lên($\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}$ thì chắc chắn $\geq 0$ nên không cần xét. Theo mình,giải như sau là chính xác nhất:
Xét 2 trường hợp:
TH1:$\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}< 0$,ta có :
$\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}< 0\leq \begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}$ Vậy $VT<VP$.BĐT được chứng minh
TH2: $\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}\geq 0$ Lúc này 2 vế đã không âm nên ta biến đổi theo cách của em Black Selena bình phương lên mà cm

[C a c t u s]

CM : $\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$
Mong mọi người giúp, có cách nào khác ngoài cách bình phương hai vế để cm BDT này không???

1 cách làm khác
Ta sẽ chứng minh: $|a|+|b| \ge |a+b|$ với $a,b \in Q$
Ta luôn có: $|a| \ge a$ và $|a| \ge -a$ ; $|b| \ge b$ và $|b| \ge -b$
$\Rightarrow |a|+|b| \ge a+b$ và $|a|+|b| \ge -a-b$ hay $-(|a|+|b|) \le a+b$
$\Rightarrow |a|+|b| \ge a+b \ge -(|a|+|b|)$
$\Rightarrow |a|+|b| \ge |a+b|$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ab \ge 0$
Áp dụng chứng minh trên vào bài ta có:
$|a-b|+|b| \ge |a-b+b| = |a|$
$\Rightarrow |a-b| \ge |a|-|b|$
Hay $|a|-|b| \le |a-b|$ (đpcm)