Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $30^x+4^x+[A]^x=y^{2008}$
Trong đó $[A]$ để chỉ phần nguyên của số thực A với $A=\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}} +\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2009]{\frac{2009}{2008}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-07-2012 - 12:14

[defaw]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $30^x+4^x+[A]^x=y^{2008}$
Trong đó $[A]$ để chỉ phần nguyên của số thực A với $A=\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}} +\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2009]{\frac{2009}{2008}}$

Giải: Trước tiên, ta tính $[A]$, ta có $\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} > 1$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n+1$ số, ta có:
$\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=\sqrt[n+1]{1\cdot 1\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n}} < \frac{n+\frac{n+1}{n}}{n+1} = 1+\frac{1}{n(n+1)}$
Như vậy, ta có $2008<A<2008+\sum_{n=1}^{2008} \frac{1}{n(n+1)}<2009$, nên $[A]=2008$
Thay vào phương trình đầu, ta có: $30^x+4^x+2008^x=y^{2008}$
$\Leftrightarrow 2^x(2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x)=y^{2008}$
Do $x;y\in \mathbb{Z^{+}}$, nên $2^x\leq y^{2008}$. Ta cũng có $y\vdots 2$, nên $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x = 1$(mâu thuẫn-không xảy ra) hoặc $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x\vdots 2$. Vì $15^x$ lẻ với $x\geq 2$, nên nó xảy ra khi $x=1$. Nhưng $x=1$ không thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.