Chủ đề này có 10 trả lời

[Beautifulsunrise]

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng các chữ số bằng 2006? Tại sao?

[triethuynhmath]

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng các chữ số bằng 2006? Tại sao?

Không tồn tại vì giả sử tồn tại 1 số chính phương có tổng là 2006.
thì ta có: 2006 chia 3 dư 2.
Vậy số chính phương đó cũng chia 3 dư 2.
Mà một số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 (mâu thuẫn)
=> Không tồn tại 1 số chính phương có tổng các chữ số =2006 (Q.E.D)

[henry0905]

Không tồn tại vì giả sử tồn tại 1 số chính phương có tổng là 2006.
thì ta có: 2006 chia 3 dư 2.
Vậy số chính phương đó cũng chia 3 dư 2.
Mà một số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 (mâu thuẫn)
=> Không tồn tại 1 số chính phương có tổng các chữ số =2006 (Q.E.D)

Nếu vậy thì ta sẽ có một bổ đề: Một số chi 3 dư a thì tổng các chữ số của số đó cũng chia 3 dư a
P/s: Ai chứng minh được bổ đề thì xin post lên nhé!!
Cái đó thì lớp 6 có thật nhưng làm sao để chứng minh bổ đề đó???

@nguyenta98: Ặc toán lớp 6 mà )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 21-07-2012 - 21:55

[Beautifulsunrise]

Có tồn tại hay không 3 số chính phương có tổng các chữ số của chúng bằng 2006? Tại sao?

[triethuynhmath]

Có tồn tại hay không 3 số chính phương có tổng các chữ số của chúng bằng 2006? Tại sao?

Mình không hiểu ý bạn cho lắm.Là tổng các chữ số của cả 3 số đó hay sao?
-------------------------------
P/S (binhmetric): Là tổng các chữ số của chúng, là tổng các chữ số của cả 3 số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 21-07-2012 - 22:22

[nguyenta98]

Có tồn tại hay không 3 số chính phương có tổng các chữ số của chúng bằng 2006? Tại sao?

Tất nhiên là có rồi
Giải như sau:
Nhận thấy một số có dạng $111....11555....556(\text{k số 1 và k-1 số 5})$ luôn là số chính phương
Do đó ta xét số $111....11155...556(\text{k số 1 và k-1 số 5})+111...111555...556(\text{q số 1 và q-1 số 5})+0$
Tổng các chữ số của
$111....11155...556(\text{k số 1 và k-1 số 5})$ là $k+5(k-1)+6$
$111...111555...556(\text{q số 1 và q-1 số 5})$ là $q+5(q-1)+6$
Do đó ta cần tìm $k,q$ sao cho $k+5(k-1)+q+5(q-1)+6+6+0=2006 \Rightarrow 6(k+q)=2004 \Rightarrow k+q=334$ đến đây suy ra luôn tồn tại $k,q$ thỏa mãn (thí dụ $k=111,q=223$) nên tồn tại ba số chính phương tổng bằng $2006$

[mituot03]

Bạn có thể chứng minh giúp minh bổ để 111...11555...56( k số 1 và k-1 số 5 la 1 số cp không?
Mình thấy vd 111111555556 không phai số cp

@nguyenta98: có bạn ạ nó bằng $333334^2$ tính tay thử đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-07-2012 - 23:06

[Beautifulsunrise]

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng bình phương các chữ số của nó bằng 2006? Tại sao?

[nguyenta98]

Bạn có thể chứng minh giúp minh bổ để 111...11555...56( k số 1 và k-1 số 5 la 1 số cp không?
Mình thấy vd 111111555556 không phai số cp

Ặc ha ha bạn dùng máy tính casio thì nó ra sai là phải vì số đó quá 10 chữ số rồi bạn ạ, kết quả nó ra $333333,999999....$ đúng ko, nhưng nên nhớ rằng $0,9999....=1$ bạn ạ =)) Cái số mình đưa ra là tổng quát đó, luôn đúng bạn ạ, đừng phụ thuộc vào máy tính )
Sau đây là lời giải tổng quát
$111....111555....556$ ($k$ số $1$ và $k-1$ số 5) sẽ bằng $33....34^2$ ($k-1$ số 3) đến đây mời các bạn tự làm nhé, dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-07-2012 - 22:58

[nguyenta98]

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng bình phương các chữ số của nó bằng 2006? Tại sao?

Câu trả lời vẫn là có
Giải như sau:
Ta xét số sau đây $999....9927$ với $k$ chữ số $9$ ($k\geq 2$)
Khi ấy $999...9927^2=99..9985400..005329$ với $k-1$ số $9$ và $k-2$ số $0$
Như vậy
$$S(99..9985400..005329)=2006$$
$$\Leftrightarrow 9^2.(k-1)+8^2+5^2+4^2+5^2+3^2+2^2+9^2=2006$$
$$\Leftrightarrow k-1=22 \Leftrightarrow k=23$$
Do vậy số thỏa đề là $99..9985400..005329$ với $22$ chữ số $9$ và $21$ chữ số $0$
Vậy tồn tại số thỏa đề

P/S có lẽ bác binhmetric đóng cửa topic được rồi chứ thế này hại não lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 22-07-2012 - 09:13

[Beautifulsunrise]

Giả sử rằng có tồn tại 1 số chính phương có tổng lũy thừa mũ n các chữ số của nó bằng 2006. Tìm giá trị lớn nhất của n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 22-07-2012 - 15:29