Chủ đề này có 3 trả lời

[Albert einstein vip]

Cho m, n là các sô thỏa mãn mn = 0,5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2}n^{2}} + \frac{m^{2}n^{2}}{m^{2} + n^{2}}$

[triethuynhmath]

Cho m, n là các sô thỏa mãn mn = 0,5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2}n^{2}} + \frac{m^{2}n^{2}}{m^{2} + n^{2}}$

Bài này sử dụng điểm rơi thôi:
Biểu thức =
$\frac{m^2+n^2}{16m^2n^2}+\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}+\frac{15(m^2+n^2)}{16m^2n^2}\geq \frac{1}{2}+\frac{15.2mn}{16m^2n^2}$(Cauchy)
$\frac{1}{2}+\frac{15.2mn}{16m^2n^2}=\frac{1}{2}+\frac{15}{8mn}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}$
Dấu = xảy ra khi $m=n=\frac{\sqrt{2}}{2}$

[bastian schweinsteiger]

$A=\frac{m^{2}+n^{2}}{16m^{2}n^{2}}+\frac{m^{2}n^{2}}{m^{2}+n^{2}}+\frac{15(m^{2}+n^{2})}{16m^{2}n^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{4}(m^{2}+n^{2})\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{2}mn=\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\\frac{17}{4}$

[ckuoj1]

A = $\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}n^{2}}+\frac{16m^{2}n^{2}}{m^{2}+n^{2}} - \frac{15m^{2}n^{2}}{m^{2}+n^{2}} \geq 2\sqrt{16} - \frac{15mn}{2} = 4,25$
Vậy A _min = 4,25 $\Leftrightarrow m=n= \frac{1}{\sqrt{2}}$