Chủ đề này có 7 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho $a_1<a_2<...<a_n$. Tìm GTNN của: A = $\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right |$
_______________________________________________________
Tham Lang : Chú cho cháu sửa lại nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 10:35

[chrome98]

Cho $a_1<a_2<...<a_n$. Tìm GTNN của: A = $\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right |$

Giải:
Nếu $n$ chẵn thì ta có:
$A=\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right | = (\left | x - a_1 \right |+\left | a_n - x \right |)+...+(\left | x - a_{\frac{n}{2}} \right |+\left | a_{\frac{n}{2}+1} - x \right |)\geq (a_n+...+a_{\frac{n}{2}+1})-(a_{\frac{n}{2}}+...+a_1)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_{\frac{n}{2}}\leq x\leq a_{\frac{n}{2}+1}$

Nếu $n$ lẻ, làm tương tự ta có đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=a_{\frac{n+1}{2}}$

[BoFaKe]

Cho $a_1<a_2<...<a_n$. Tìm GTNN của: A = $\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right |$

Giải:
Nếu $n$ chẵn thì ta có:
$A=\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right | = (\left | x - a_1 \right |+\left | a_n - x \right |)+...+(\left | x - a_{\frac{n}{2}} \right |+\left | a_{\frac{n}{2}+1} - x \right |)\geq (a_n+...+a_{\frac{n}{2}+1})-(a_{\frac{n}{2}}+...+a_1)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_{\frac{n}{2}}\leq x\leq a_{\frac{n}{2}+1}$

Nếu $n$ lẻ, làm tương tự ta có đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=a_{\frac{n+1}{2}}$

Nếu đối với trường hợp n lẻ thì nó sẽ thừa ra 1 cái trị tuyệt đối,lúc đó min của nó sẽ khác đi chứ.Phải vậy không????

[triethuynhmath]

Nếu đối với trường hợp n lẻ thì nó sẽ thừa ra 1 cái trị tuyệt đối,lúc đó min của nó sẽ khác đi chứ.Phải vậy không????

Lúc đó nhóm như vậy thì phần thừa sẽ là $\begin{vmatrix} x-a_{\frac{n+1}{2}} \end{vmatrix} \geq0 $
Vì vậy nên dấu "=" mới xảy ra tại $x=a_{\frac{n+1}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 23-07-2012 - 21:14

[chrome98]

Với $n$ lẻ thì có một cái ở giữa sẽ $=0$ khi $min$, và lúc đó, ta vẫn có:
$A_{min}=(a_{n}+...+a_{\frac{n+1}{2}+1})-(a_{\frac{n+1}{2}-1}+...+a_{1})$

[290iy4072012]

Với $n$ lẻ thì có một cái ở giữa sẽ $=0$ khi $min$, và lúc đó, ta vẫn có:
$A_{min}=(a_{n}+...+a_{\frac{n+1}{2}+1})-(a_{\frac{n+1}{2}-1}+...+a_{1})$

Lúc đó, dấu "=" xảy ra khi $x=a_{n+1}$ (giả sử có $2n+1$ số) nên kết quả như vậy đâu chính xác

[Crystal]

Cho $a_1<a_2<...<a_n$. Tìm GTNN của: A = $\left | x - a_1 \right |+\left | x - a_2 \right |+...+\left | x - a_n \right |$

* Với $n=2k$. Ta có:
\[A = \left| {x - {a_1}} \right| + \left| {x - {a_2}} \right| + ... + \left| {x - {a_k}} \right| + \left| {{a_{k + 1}} - x} \right| + \left| {{a_{k + 2}} - x} \right| + ... + \left| {{a_{2k}} - x} \right|\]
\[ \ge x - {a_1} + x - {a_2} + ... + x - {a_k} + {a_{k + 1}} - x + {a_{k + 2}} - x + ... + {a_{2k}} - x\]
\[ - \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k}} \right) + {a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} + ... + {a_{2k}} = \sum\limits_{j = k + 1}^{2k} {{a_j}} - \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}} \]
Dấu "=" xảy ra khi $x = {a_k}$.

* Với $n=2k+1$. Ta có:
\[A = \left| {x - {a_1}} \right| + \left| {x - {a_2}} \right| + ... + \left| {x - {a_k}} \right| + \left| {x - {a_{k + 1}}} \right| + \left| {{a_{k + 2}} - x} \right| + \left| {{a_{k + 3}} - x} \right|+... + \left| {{a_{2k + 1}} - x} \right|\]
\[ \ge x - {a_1} + x - {a_2} + ... + x - {a_k} + x - {a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} - x + {a_{k + 3}} - x + ... + {a_{2k+1}} - x\]
\[ = - \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k}} \right) + {a_{k + 2}} + {a_{k + 3}} + ... + {a_{2k + 1}} = \sum\limits_{j = k + 2}^{2k + 1} {{a_j}} - \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}} \]
Dấu "=" xảy ra khi $x = {a_{k+1}}$.

[chrome98]

Lúc đó, dấu "=" xảy ra khi $x=a_{n+1}$ (giả sử có $2n+1$ số) nên kết quả như vậy đâu chính xác

Như nhau mà bạn, mình đâu có gọi $n=2k+1$ gì đâu mà $n$ lẻ rồi nên số ở giữa là $a_{\frac{n+1}{2}}$!