Chủ đề này có 3 trả lời

[Lnmn179]

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x²+y²+z² = 1
Tìm max của P = x⁵+y⁵+z⁵

[viet 1846]

\[DK \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = - z\\
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + {z^2} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = - z\\
xy = \frac{{2{z^2} - 1}}{2}
\end{array} \right.\]


\[{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow {z^2} \ge 2\left( {2{z^2} - 1} \right) \Leftrightarrow z \in \left[ { - \sqrt {\frac{2}{3}} ;\sqrt {\frac{2}{3}} } \right]\]


\[P = {x^5} + {y^5} + {z^5} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right) + {z^5} = \cdots = f\left( z \right)\]

Khảo sát là xong.

[henry0905]

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x²+y²+z² = 1
Tìm max của P = x⁵+y⁵+z⁵

Ta có bổ đề: Nếu x+y+z=0 thì $2(x^{5}+y^{5}+z^{5})=5yzx(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
x+y+z=0
$\Rightarrow (y+z)^{5}=-x^{5}$
$\Rightarrow y^{5}+5y^{4}z+10y^{3}z^{2}+10y^{2}z^{3}+5yz^{4}+z^{5}=-x^{5}$
$\Rightarrow (x^{5}+y^{5}+z^{5})+5yz(y^{3}+2y^{2}z+2yz^{2}+z^{3})=0$
$\Leftrightarrow (x^{5}+y^{5}+z^{5})+5yz(y+z)(y^{2}+yz+z^{2})=0$
$\Leftrightarrow 2(x^{5}+y^{5}+z^{5})-5yzx\left [ (y+z)^{2}+y^{2}+z^{2} \right ]$
$\Leftrightarrow 2(x^{5}+y^{5}+z^{5})-5yzx(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Leftrightarrow 2(x^{5}+y^{5}+z^{5})=5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Leftrightarrow 2(x^{5}+y^{5}+z^{5})=5xyz$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}$
$\Rightarrow 1\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{3\sqrt{3}}\geq xyz\geq \frac{-1}{3\sqrt{3}}$
$\Rightarrow x^{5}+y^{5}+z^{5}=\frac{5}{2}xyz\leq \frac{5}{6\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 25-07-2012 - 13:00

[Crystal]

Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2 = 1$
Tìm max của $P = x^5+y^5+z^5$

Đây là câu 6 trong đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2012.

Các bạn có thể tham khảo tại đây.