Bài 1:
Ta có \[n - 1 = \frac{{{2^{2p}} - 1}}{3} - 1 = \frac{{4({2^{p - 1}} + 1)({2^{p - 1}} - 1)}}{3}\]
Vì p là số nguyên tố lẻ nên \[{2^{p - 1}} \equiv 1(\bmod 3)\]
Theo định lí Fecma bé: \[{2^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)\]
Vậy \[{2^{p - 1}} - 1 \vdots 3p \Rightarrow n - 1 \vdots 2p \Rightarrow {2^{n - 1}} - 1 \vdots {2^{2p}} - 1\]
Nhưng \[{2^{2p}} - 1 \vdots n\] nên suy ra \[{2^{n - 1}} - 1 \vdots n\]
Suy ra đpcm
bài 2:
Giả sử m>2
Ta có \[{m^{{{(m - 1)}^2}}} \equiv {(1 + (m - 1))^{{{(m - 1)}^2}}} \equiv 1(\bmod {(m - 1)^2})\]
Mặt khác \[m \ne 1(\bmod {(m - 1)^2})\forall m > 2\]
Vậy m>2 không thoả đề bài
m=1:bài toán hiển nhiên đúng
m=2,ta có \[{2^n} \equiv 1(\bmod n)\] suy ra n lẻ
Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n,khi đó \[{2^n} \equiv 1(\bmod p)\]
rõ ràng p lẻ.Do định nghĩa số p ta có (n,p-1)=1;như vậy tồn tại các số nguyên a,b sao cho an+b(p-1)=1
ta có \[{2^1} \equiv {2^{an}}{.2^{(p - 1)b}} \equiv 1(\bmod p)\] Vô lí
Vậy mệnh đề \[{2^n} \equiv 1(\bmod n)\] sai suy ra mệnh đề \[{m^n} \equiv 1(\bmod n) \Rightarrow m \equiv 1(\bmod n)\] đúng
Vậy m=1.m=2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-07-2012 - 21:24
