Chủ đề này có 2 trả lời

[Stranger411]

Cho số nguyên dương $a$ thỏa mãn $S\left( {{a^n} + n} \right) = 1 + S\left( n \right)$ với mọi số tự nhiên $n$ lớn tùy ý.
Chứng minh $a$ là một lũy thừa của $10$.

- Kvant -

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 26-07-2012 - 01:02

[dactai10a1]

Cho n=1.Ta có S(a+1)=2
Suy ra a+1 có dạng:\[a + 1 = 2 \times {10^k}\] hoặc \[a + 1 = {10^k} + {10^h}(k > h)\]
*Với \[a + 1 = 2 \times {10^k}\]
Nếu k=0 thì ta suy ra a=1(không thoả đề bài,nếu lấy n=12 chẳng hạn
Nếu\[k \ge 1\] thì ta có \[a = 2 \times {10^k} - 1 = 10h + 9\]
Khi đó chọn n=2 .Ta có \[{a^2} + 2 = {(10h + 9)^2} + 2 = 100l + 83 \Rightarrow S({a^2} + 2) > 8+3 > 1 + S(2)\] (không thoả đề bài)
*Với \[a + 1 = {10^k} + {10^h}(k > h)\]
Nếu h=0 thì \[a + 1 = 100...01 \Rightarrow a = {10^k}\]
Dễ kiểm tra \[a = {10^k}\] thoả đề bài
Nếu \[h \ge 1\] thì \[a = {10^k} + {10^h} - 1(k > h) = 100...099...9 = 10l + 9\]
Khi đó chọn n=2 .Ta có \[{a^2} + 2 = {(10l + 9)^2} + 2 = 100j + 83 \Rightarrow S({a^2} + 2) > 8+3 > 1 + S(2)\] (không thoả đề bài)
Vậy \[a = {10^k}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 26-07-2012 - 13:39

[Stranger411]

Cho n=1.Ta có S(a+1)=2
Suy ra a+1 có dạng:\[a + 1 = 2 \times {10^k}\] hoặc \[a + 1 = {10^k} + {10^h}(k > h)\]

Đến đây có thể dùng 2 tính chất quan trọng của $S(n)$ để giải bài toán.
là $S(m)+S(n) \ge S(m+n)$ và $S(m)S(n) \ge S(mn)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 27-07-2012 - 20:43