2 replies to this topic

[Beautifulsunrise]

Tìm tất cả các hàm số f: N -> N thỏa mãn: $\left| {f(n) - \frac{n}{2}(\sqrt 5 + 1)} \right| \le \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)$ và f(f(n)) = 0.

Edited by binhmetric, 28-07-2012 - 15:31.

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
\left| {f\left( n \right) - \frac{n}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \right| \le \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},\left( 1 \right)
\]
Trong $(1)$, thay $n$ bởi $f(n)$, ta có
\[
\left| {f\left( n \right)\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right| \le \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Rightarrow \left| {f\left( n \right)} \right| \le 1 \Rightarrow f\left( n \right) \in \left\{ {0;1} \right\}
\]
Gọi $k \in \mathbb{N}$ thỏa $f(k)=1$. Trong $(1)$, thay $n$ bởi $k$:
\[
\begin{array}{l}
\left| {1 - k\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right| \le \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \le 1 - k\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \le \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \\
\Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \ge k \ge \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \\
\end{array}
\]
Nếu $k=1$ thì $f(1)=1 \Rightarrow f(f(1))=1$: trái giả thiết. Do đó, $f(1)=0;f(2)=1$.
Suy ra $\forall n>2:f(n)=0$. Trong $(1)$, cho $n$ tiến tới $+ \infty$ thì thấy ngay điều vô lý.
Vậy không tồn tại $f(n)$ thỏa đề.

[Crystal]

BÀI TOÁN. Cho hàm số $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện \[\left| {f\left( x \right) - \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)x} \right| < \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},\,\,\,\forall x \in \mathbb{N}\] Chứng minh rằng \[f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right) + x,\,\,\forall x \in \mathbb{N}\]