Chủ đề này có 5 trả lời

[NLT]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ thỏa mãn:
$$f(1)=2; f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$$
___

@ Anh Hân: Em nhầm đề, đã edit
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 29-07-2012 - 22:04

[perfectstrong]

Cho $x=y=0$ thì lại ra $0=1$: vô lý?

[minhtuyb]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ thỏa mãn:
$$f(1)=2; f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$$
___

@ Anh Hân: Em nhầm đề, đã edit
___

Cho $(x;1)$ thì:
$$f(x)=f(x).f(1)-f(x+1)+1\Leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$$
Quy nạp để c/m $f(x)=x+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 29-07-2012 - 23:38

[NLT]

Cho $(x;1)$ thì:
$$f(x)=f(x).f(1)-f(x+1)+1\Leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$$
Quy nạp để c/m $f(x)=x+1$

Ý tưởng đúng, tuy nhiên có quá ngắn gọn không? Nếu bạn để ý thì lời giải của các anh, đặc biệt là anh Thành, trong phần phương trình hàm này, rất đầy đủ, đều ra tới bước đơn giản hơn. Có thể đối với bạn bài này không khó, tuy nhiên, đây là phần mới cho các bạn mới bắt đầu vào lớp 10. Do vậy, nếu chỉ trình bày tới vầy sao người ta hiểu nổi ? Mong bạn lần sau để ý thêm về việc này, chào bạn !
___

[perfectstrong]

Cho $(x;1)$ thì:
$$f(x)=f(x).f(1)-f(x+1)+1\Leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$$
Quy nạp để c/m $f(x)=x+1$

Em làm thế này thì chưa đủ để gọi là gợi ý. Anh làm theo các bước gợi ý nhé
B1: Thay $y:=1$ thì thu được $f(x+1)=f(x)+1$. Ta sẽ chứng minh hàm cần tìm là $f(x)=x+1$.
B2: Quy nạp theo $n \in \mathbb{N}:f(n)=n+1$.
B3: Quy nạp "lùi" theo $n \in \mathbb{Z},n \le 0$. Từ đó, suy ra $f(x)=x+1,\forall x \in \mathbb{Z}$
B4: Chứng minh $f\left( x \right) = xf\left( {\frac{1}{x}} \right)$. Suy ra $f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{x + 1}}{x}$
B5: Chứng minh $f\left( {\frac{x}{y}} \right) = \frac{x}{y} + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-07-2012 - 11:52

[yeutoan11]

Quy nạp thêm cái này nữa cho dễ anh Hân
$f(x+m)=f(x)+m$ với mọi x thuộc tập xác định và m tự nhiên