Chủ đề này có 2 trả lời

[caokhanh97]

Cho a,b,c không âm có tổng bằng 1.Chứng minh rằng$\frac{\sum a^{2}}{\sum a^{2}b^{2}}\geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[trungdung97]

sửa lại CMR $\frac{\sum ab}{\sum a^{2}b^{2}}\geq 8(\sum a^{2})$

[le_hoang1995]

sửa lại CMR $\frac{\sum ab}{\sum a^{2}b^{2}}\geq 8(\sum a^{2})$

Nhờ mọi người kiểm chứng nhé. Ý tưởng là dồn biến về biên.
Xét hàm số $f(a;b;c)=\frac{ab+bc+ca}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-8(a^2+b^2+c^2)$
Giả sử c là số lớn nhất.
$$f(a+b;0;c)=\frac{(a+b).0+0.c+c(a+b)}{(a+b)^2.0^2+0^2.c^2+c^2(a+b)^2}-8[(a+b)^2+0^2+c^2]=\frac{1}{c(a+b)}-8(a^2+b^2+c^2+2ab)$$
Xét hiệu $f(a;b;c)-f(a+b;0;c)=$
$=\frac{ab+bc+ca}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} -\frac{1}{c(a+b)}+16ab\geq \frac{ab+c(a+b)}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} -\frac{1}{c(a+b)}$

$=\frac{abc(a+b)+c^2(a^2+b^2+2ab)-(ab)^2-(bc)^2-(ca)^2}{[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].c(a+b)}$

$=\frac{ab[c(a+b)+2c^2-ab]}{[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].c(a+b)}=\frac{ab[c(1-c)+2c^2-ab]}{[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].c(a+b)}$

$=\frac{ab(c+c^2-ab)}{[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2].c(a+b)}$

Vì $c=max(a;b;c)$ nên $c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow c+c^2\geq \frac{4}{9}$
$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow c+c^2-ab\geq \frac{4}{9}-\frac{1}{4}>0$
$\Rightarrow f(a;b;c)-f(a+b;0;c)>0$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh trong TH 1 biến bằng 0, tức là
$\frac{1}{ca}\geq 8(a^2+c^2)$
Thật vậy $2ac.(a^2+c^2)\leq \frac{(a^2+2ac+c^2)^2}{4}=\frac{(a+c)^4}{4}\leq \frac{1}{4}$
ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi có 1 biến bằng 0, hai biến còn lại bằng $\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 01-08-2012 - 20:23