$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 31-07-2012 - 11:40
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
Bắt đầu bởi boyhand11, 31-07-2012 - 10:43
#1
Đã gửi 31-07-2012 - 10:43
boyhand11
-
- Thành viên
-
- 14 Bài viết
Binh nhì
Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .
- le_hoang1995 yêu thích
Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.
Even in the games of children there are things to interest the greatest mathematician.
Gottfried Wilhelm Leibniz
~*~
Không có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó.
#2
Đã gửi 31-07-2012 - 14:35
le_hoang1995
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
BĐT tương đương$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$$Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .
Thật vậy, theo BĐT $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ và BĐT$(xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z)$ ta được
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+2(ab+bc+ca)$$
$$=\frac{a+b+c}{abc}+2(ab+bc+ca)=\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{\frac{3.(ab+bc+ca)^2}{abc}}$$
$$\geq 3\sqrt[3]{\frac{3.3abc(a+b+c)}{abc}}=9$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 31-07-2012 - 14:36
- viet 1846, Mai Duc Khai, minhdat881439 và 6 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-08-2012 - 07:20
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Cách khác nhé :Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$
MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= \frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta có : $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)= 9abc\Rightarrow \frac{3}{abc}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$
Vậy ta cần CM : $\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\geq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$
Đúng theo AM-GM : $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq (\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3})^3$
$= \frac{(a+b+c)^6}{27}= \frac{3^6}{27}= 27$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 01-08-2012 - 07:21
- Poseidont, ducthinh26032011, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 03-04-2021 - 20:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đề thi chọn đội tuyển Romania dự thi IMO 2006 và mình đã giải ở đây:$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ $a^2 + b^2 +c^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học 
- Hoang72, alexander123 và truonganh2812 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
