3 replies to this topic

[boyhand11]

Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$

MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .

Edited by TRUNGKIEN1997, 31-07-2012 - 11:40.

[le_hoang1995]

Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$

MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .

BĐT tương đương$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$$
Thật vậy, theo BĐT $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ và BĐT$(xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z)$ ta được
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+2(ab+bc+ca)$$
$$=\frac{a+b+c}{abc}+2(ab+bc+ca)=\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{\frac{3.(ab+bc+ca)^2}{abc}}$$
$$\geq 3\sqrt[3]{\frac{3.3abc(a+b+c)}{abc}}=9$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Edited by le_hoang1995, 31-07-2012 - 14:36.

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$

MOD : Chú ý gõ tiếng việt có dấu .

Cách khác nhé :
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= \frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta có : $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)= 9abc\Rightarrow \frac{3}{abc}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$
Vậy ta cần CM : $\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\geq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$
Đúng theo AM-GM : $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq (\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3})^3$
$= \frac{(a+b+c)^6}{27}= \frac{3^6}{27}= 27$

Edited by Secrets In Inequalities VP, 01-08-2012 - 07:21.

[KietLW9]

Đề thi chọn đội tuyển Romania dự thi IMO 2006 và mình đã giải ở đây:$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ $a^2 + b^2 +c^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học