Chủ đề này có 4 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $0<b<a\le 2$ và $2ab\le 2b+a$. Chứng minh rằng $a^2+b^2\le 5$

[BlackSelena]

TH 1:Nếu $a < 1$ thì $b < a < 1$, $b^2 < a^2 < 1 \Rightarrow a^2 + b^2 <2$, bđt hiển nhiên đúng.
TH 2:Nếu $a > 1$
Từ giả thiết dễ dàng suy ra
$b\leq \frac{a}{2(a-1)}$
Ta có
$a^2 + b^2 \leq a^2 + \frac{a^2}{4(a-1)^2}$
Xét hiệu
$a^2 + \frac{a^2}{4(a-1)^2} - 5$
$=\frac{4a^2(a-1)^2 + a^2 - 20(a-1)^2}{4(a-1)^2}$
$=\frac{4a^4 - 8a^3 -15a^2 + 40a - 20}{4(a-1)^2}$
$=\frac{(a-2)(4a^3-15a+10)}{4(a-1)^2}$
Dễ thấy $a-2 \leq 0$ do $a \leq 2$
$Q.E.D$. Dấu "=" xảy ra khi $a=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-08-2012 - 23:34

[tim1nuathatlac]

cho $a=1,2$ suy ra $4a^{3}-15a+10< 0$
hiệu lớn hơn 0
vậy nếu làm theo cách trên BĐT chưa được cm

[BoFaKe]

TH 1:Nếu $a < 1$ thì $b < a < 1$, $b^2 < a^2 < 1 \Rightarrow a^2 + b^2 <2$, bđt hiển nhiên đúng.
TH 2:Nếu $a > 1$
Từ giả thiết dễ dàng suy ra
$b\leq \frac{a}{2(a-1)}$
Ta có
$a^2 + b^2 \leq a^2 + \frac{a^2}{4(a-1)^2}$
Xét hiệu
$a^2 + \frac{a^2}{4(a-1)^2} - 5$
$=\frac{4a^2(a-1)^2 + a^2 - 20(a-1)^2}{4(a-1)^2}$
$=\frac{4a^4 - 8a^3 -15a^2 + 40a - 20}{4(a-1)^2}$
$=\frac{(a-2)(4a^3-15a+10)}{4(a-1)^2}$
Dễ thấy $a-2 \leq 0$ do $a \leq 2$
$Q.E.D$. Dấu "=" xảy ra khi $a=2$

Một điều nữa rất quan trọng dẫn đến bài làm của em sai là em chưa sử dụng tối đa giả thiết đề cho như $2ab\leq 2b+a$

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $0<b<a\le 2$ và $2ab\le 2b+a$. Chứng minh rằng $a^2+b^2\le 5$

Bài này khá loằng ngoằng
Ta có : $5= 2^2+1^2= b^2(\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2})+(a^2-b^2)\frac{2^2}{a^2}$
$\geq \frac{b^2}{2}.(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})^2+(a^2-b^2).\frac{2^2}{a^2}\geq \frac{b^2}{2}.(\frac{2a+b}{ab})^2+(a^2-b^2)$
( do $a\leq 2$ )
$\geq \frac{b^2}{2}.(\frac{2ab}{ab})^{2}+(a^2-b^2)$ ( vì $2b+a\geq 2ab$ )
$= a^2+b^2\Rightarrow Q.E.D$