Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

cho m=2007²⁰⁰⁸ ,hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n<m sao cho m l n(2n+1)(5n+2)

[Stranger411]

cho m=2007²⁰⁰⁸ ,hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n<m sao cho m l n(2n+1)(5n+2)

\[{\text{m}} = {\text{2}}{007^{2008}} = {3^{4016}}{223^{2008}}\]
Ta có: $m|n\left( {2n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right)$
$ \Rightarrow m|10n\left( {10n + 5} \right)\left( {10n + 4} \right)$ $(1)$

Đặt $10n=x$, ta được: $m|x\left( {x + 5} \right)\left( {x + 4} \right)$

Đặt ${q_1} = {3^{4016}},{q_2} = {223^{2008}}$. Vì $\gcd \left( {{q_1},{q_2}} \right) = 1$

Nên \[{\text{(1)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x\left( {x + 5} \right)\left( {x + 4} \right) \equiv 0(\bmod {q_1}) \\
x\left( {x + 5} \right)\left( {x + 4} \right) \equiv 0(\bmod {q_2}) \\
\end{gathered} \right.\]
Mà $x \equiv 0(\bmod 10)$

Nên $x$ là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \begin{gathered}
x \equiv {r_1}(\bmod {q_1}) \\
x \equiv {r_2}(\bmod {q_2}) \\
x \equiv 0(\bmod 10) \\
\end{gathered} \right.\]
với ${r_1},{r_2} \in \left\{ {0; - 4; - 5} \right\}$

Theo định lí Thặng Dư Trung Hoa, hệ có 1 nghiệm $(\bmod 10{q_1}{q_2})$
với mỗi cặp ${r_1},{r_2}$ chỉ tồn tại 1 nghiệm x.

Có tất cả $3^2$ cách chọn ${r_1},{r_2}$ nên có 9 số $x$ thỏa.
Suy ra có 9 số $n$ thỏa mãn bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 03-08-2012 - 11:29