Chủ đề này có 5 trả lời

[Beautifulsunrise]

GPT nghiệm nguyên $x^5-y^2=4$

[C a c t u s]

GPT nghiệm nguyên $x^5-y^2=4$

Google có bài này chú ơi
http://math.vn/showt...guyên-y-2-x-5-4

[nguyenta98]

GPT nghiệm nguyên $x^5-y^2=4$

Cách giải khác
Giải như sau:
Bổ đề: Nếu $p$ là số nguyên tố và $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì cả $a,b$ đều chia hết cho $p$ với $p \equiv 3 \pmod{4}$
CM:
Giả thiết phản chứng $a,b$ không chia hết cho $p$ suy ra $gcd(a,p)=1$ và tương tự với b
Đặt $p=4k+3$
Xét số $a^{4k+2}+b^{4k+2}$ ta có:
$a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}=(a^2+b^2)*(…)$ <1>
Lại theo đề bài $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ suy ra từ <1> ta có $a^{4k+2}+b^{4k+2}$ chia hết cho $p$ <2>
Lại theo định lý fermat nhỏ: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ và tương tự với $b$
Suy ra $a^{p-1}- b^{p-1}=a^{4k+2}- b^{4k+2}$ chia hết cho p <3>
Từ <2> và <3> suy ra $2b^{4k+2}$ chia hết cho $p$ suy ra $b$ chia hết cho p suy ra $a$ cũng chia hết cho p suy ra giả thiết phản chứng là sai suy ra bổ đề được chứng minh.

Áp dụng
Ta biến đổi $x^5=y^2+4 \Rightarrow x^5+2^5=y^2+6^2$
Suy ra $(x+2)(x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4)=y^2+6^2$
TH1: $x$ chẵn suy ra $x=2k$ suy ra $(2k)^5+2^5=y^2+6^2 \Rightarrow y=2r$
$\Rightarrow 2^3.k^5+2^3=r^2+3^2 \Rightarrow r^2 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow False!$
TH2: $x$ lẻ
$\boxed{\text{KN1}}$ Nếu $x \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow x+2 \equiv 3 \pmod{4}$
Và $x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4 \equiv 3 \pmod{4}$
Suy ra tồn tại một ước nguyên tố của $x+2$ sao cho nó chia $4$ dư $3$ giả sử nó là $p$
Tương tự $q$ là ước nguyên tố chia $4$ dư $3$ của $x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4$
Áp dụng bổ đề suy ra $6 \vdots p,q \Rightarrow p=q=3$
Như vậy $x+2 \vdots 3 \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4 \equiv 2 \pmod{3}$ vô lý do $x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4 \vdots q=3$
$\boxed{\text{KN2}}$ Nếu $x \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4 \vdots r$ với $r$ nguyên tố và $r \equiv 3 \pmod{4}$
Áp dụng bổ đề suy ra $6 \vdots r \Rightarrow r=3$
Nhưng nhận thấy $x^4-2x^3+4x^2-8x+2^4$ không bao giờ chia hết cho $3$ nên suy ra loại
Vậy bài toán không có nghiệm nguyên

[huy thắng]

bài này có thể xét module 11 

[barcavodich]

Có $1$ lần mình đăng bài này rồi

Giải như sau

Ta xét đồng dư theo $mod 11$

Ta có $(x^5)^2) \equiv 0,1 (mod 11)$ $\to x^5 \equiv 0,1 (mod 11)$

Suy ra: $VT \equiv 6,7,8 (mod 11)$

Mà số chính phương chia $11$ có số dư là $0,1,3,4,5,9$

Suy ra phương trình vô nghiệm

[khanhhx]

Giải pt nghiệm nguyên: $x^5 - y^2 = 1$