Chủ đề này có 1 trả lời

[Beautifulsunrise]

Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n.
CMR: Tồn tại 50 số nguyên dương phân biệt $n_1,~n_2,~...,~n_{50}$ sao cho: $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_{50}+S(n_{50})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 05-08-2012 - 23:31

[nguyenta98]

Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n.
CMR: Tồn tại 50 số nguyên dương phân biệt $n_1,~n_2,~...,~n_{50}$ sao cho: $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_{50}+S(n_{50})$

Giải như sau:
Cách suy nghĩ vẫn là xây dựng dãy
Ta chứng minh tổng quát bài toán như sau: tồn tại $x$ số phân biệt $n_1,x_2,...,n_x$ sao cho
$n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_x+S(n_x)$
Ta chứng minh điều này bằng quy nạp
Thử $x=1$ hiển nhiên
Giả sử $x=k-1$ đúng hay tồn tại $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_{k-1}+S_{k-1}$
Ta sẽ chứng minh $x=k$ đúng hay tồn tại $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_k+S(n_k)$
Thật vậy ta có từ GTQN suy ra $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=...=n_{k-1}+S_{k-1}$
Ta có nhận xét sau nếu $n_x+S(n_x)=n_y+S(n_y)$ với WLOG: $n_x<n_y$
Khi đó chọn $10^t$ với $t$ đủ lớn để $10^t>n_y$ khi đó $10^t>n_y>n_x$
Lúc đó $(10^t+n_x)+S\left(10^t+n_x\right)=(10^t+n_y)+S\left(10^t+n_y\right)$ hay phát biểu được bảo toàn
Do đó ta có thể làm trội $n_y$ và $n_x$ lên bao nhiêu cũng được, đó cũng có thể nói với $x=k-1$ có vô số số thỏa đề
Trở lại bài toán ta có WLOG: $n_1<n_2<...<n_{k-1}$
Chọn $1\le p\le 9$ sao cho $p \equiv n_1+1 \pmod{9} \Rightarrow n_1+S(n_1)-p-S(p)\equiv -2 \pmod{9} \Rightarrow n_1+S(n_1)-p-S(p)+11\vdots 9 \Rightarrow n_1+S(n_1)-p-S(p)=9h$
Khi đó ta thấy như nhận xét ở trên là ta có thể làm trội $n_1$ lên bao nhiêu tùy thích do đó ta làm trội đủ lớn để $n_1+S(n_1)-p-S(p)=9h$ đủ lớn hay $h$ đủ lớn để có thể $10^h>n_{k-1}$
Khi ấy do ta đã giả sử WLOG: $n_1<n_2<...<n_{k-1}$ nên $10^h>n_{k-1}>...>n_2>n_1$
Lúc này ta chọn dãy $m_1,m_2,...,m_{k-1}$ mới như sau
$m_i=10^{h+1}+n_i$
Suy ra $m_1=10^{h+1}+n_1$
Nên $m_1+S(m_1)=(10^{h+1}+n_1)+S\left(10^{h+1}+n_1\right)$
Ta có $S\left(10^{h+1}+n_1\right)=1+S(n_1)$
Suy ra $m_1+S(m_1)=(10^{h+1}+n_1)+S\left(10^{h+1}+n_1\right)$
$=10^{h+1}+n_1+1+S(n_1)=10^{h+1}-10+n_1+S(n_1)-p-S(p)+11+p+S(p)$
$=10^{h+1}-10+9h+p+S(p)=(10^{h+1}-10+p)+(9h+S(p))$ $(1)$
Ta thấy $S\left(10^{h+1}-10+p\right)=S\left(99...90+p(\text{h số 9})\right)=9h+S(p)$ (do $1\le p\le 9$ nên $p=S(p)$)
Do đó $S\left(10^{h+1}-10+p\right)=9h+S(p)$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow m_1+S(m_1)=(10^{h+1}-10+p)+S\left(10^{h+1}-10+p\right)=m_{k}+S(m_k)$
Như vậy $m_1,m_2,...,m_k$ là $k$ số thỏa đề hay đúng với nguyên lý quy nạp suy ra $đpcm$
Áp dụng vào bài có ngay $đpcm$ vì ta đã chứng minh tổng quát