Chủ đề này có 7 trả lời

[sieutoan99]

Cho a,b,c>0.CM:$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[WhjteShadow]

Viết lại ĐPCM:
$Q.e.D\Leftrightarrow \frac{3(a^4+b^4+c^4)}{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}+\frac{9abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \frac{3(a^4+b^4+c^4)}{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}-1+\frac{9abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}-1\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{3(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}+\frac{9abc-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq 0$
Ta có phân tích cơ sở sau:
$3(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)=3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)^2+(a^2+b^2+c^2)^2-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)=\sum (a^2-b^2)^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=\sum (a-b)^2[(a-b)^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)]$
Và $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-9abc=(a^3+b^3+c^3-3abc)+[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc]=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+[a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2]=\frac{1}{2} [\sum (a-b)^2(a+b+3c)]$
Vậy $Q.e.D\Leftrightarrow \sum (a-b)^2[\frac{2(a+b)^2+a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{a+b+3c}{a+b+c}]\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2.S_c+(a-c)^2.S_b+(b-c)^2.S_a\geq 0$
Với $S_a=\frac{2(b+c)^2+a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1-\frac{2a}{a+b+c}$
$S_b=\frac{2(a+c)^2+a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1-\frac{2b}{a+b+c}$
$S_c=\frac{2(a+b)^2+a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1-\frac{2c}{a+b+c}$
Giả sử $a\geq b\geq c$ Dễ thấy $S_a\leq S_b\leq S_c$.Vậy ta chỉ cần chứng minh $S_a+S_b\geq 0$ là đủ
Thật vậy $S_a+S_b\geq 0\Leftrightarrow \frac{2[(b+c)^2+(c+a)^2+a^2+b^2+c^2]}{ab+bc+ca}-2-\frac{2(a+b)}{a+b+c}\geq 0$
Nhưng do $\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq 2$ Nên cuối cùng chỉ phải chứng minh $\frac{(b+c)^2+(c+a)^2}{ab+bc+ca}\geq \frac{a+b}{a+b+c}$
Và bằng niềm tin vào S.O.S và nhiệt huyết của tuổi trẻ ta quy đồng lên,chuyển vế thì nó $\Leftrightarrow a^3+2a^2c+2abc+4ac^2+b^3+2bc^2+4bc^2+2c^3\geq 0$ (Luôn đúng)
Vậy $S_a\leq S_b\leq S_c$ và $S_a+S_b\geq 0$ Nên bất đẳng thức đúng the0 tiểu chuẩn 2 của $S.O.S$
Kết thúc chứng minh.Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

[tran thanh binh dv class]

Ta có phân tích cơ sở sau:
$3(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)=3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)^2+(a^2+b^2+c^2)^2-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)=\sum (a^2-b^2)^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=\sum (a-b)^2[(a-b)^2+\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)]$
Và $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-9abc=(a^3+b^3+c^3-3abc)+[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc]=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+[a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2]=\frac{1}{2} [\sum (a-b)^2(a+b+3c)]$
Vậy $Q.e.D\Leftrightarrow \sum (a-b)^2[\frac{2(a+b)^2+a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{a+b+3c}{a+b+c}]\geq 0$

cho mình hỏi làm sao bạn tìm được những cơ sở đó và cách để phân tích thành $S(a-b)^2$

Ps:chia sẻ ít kinh nghiệm với

[WhjteShadow]

cho mình hỏi làm sao bạn tìm được những cơ sở đó và cách để phân tích thành $S(a-b)^2$

Ps:chia sẻ ít kinh nghiệm với

Cái này bạn có thể tìm tại liệu về SOS để đọc nếu thích.Nhưng mà làm bất đẳng thức bằng SOS mọi người thương không thích đọc đâu.Híc

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Cho a,b,c>0.CM:$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

làm cách trâu bò:

chuẩn hóa cho $ a+b+c=3 $ thì bất đẳng thức trở thành:

$ a^4+b^4+c^4 +abc(ab+bc+ca) \geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) $

đặt $ 3=a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $ và chú ý các đẳng thức, bất đẳng thức sau:

$ a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr=81-36q+2q^2+12r $
$ a^2+b^2+c^2=p^2-2q=9-2q $
$ r \geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4p-9}{3} $ (bất đẳng thức schur)
thay vào bdt cần chứng minh ta được:

$ BDT \Leftrightarrow \frac{10}{3}q^2-42q+qr+12r+81 \geq 0 $ (1)

áp dụng bất đẳng thức schur ta có:

$ VT(1) \geq \frac{10}{3}q^2-42q+\frac{q(4q-9)}{3}+4(4q-9)+81 $

ta sẽ chứng minh $ \frac{10}{3}q^2-42q+\frac{q(4q-9)}{3}+4(4q-9)+81 \geq 0 $

$ \Leftrightarrow 14q^2-87q+135 \geq 0 $

$ \Leftrightarrow (q-3)(q-\frac{45}{14}) \geq 0 $ ( luôn đúng vì $ q \leq 3 $)

vậy bdt được chứng minh

[sieutoan99]

Cái này bạn có thể tìm tại liệu về SOS để đọc nếu thích.Nhưng mà làm bất đẳng thức bằng SOS mọi người thương không thích đọc đâu.Híc

bạn ơi SOS là cái gì và tài liệu ở đâu vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieutoan99: 10-08-2012 - 09:34

[viet 1846]

bạn ơi SOS là cái gì và tài liệu ở đâu vậy?

S.O.S là 1 phương pháp hiện đại để chứng minh bđt, nó được nói trong khá nhiều tài liệu về bđt. Bạn có thể tìm đọc cuốn Sáng tạo BĐT, hay Cuốn Những viên kim cương, và nhiều tài liệu trên mạng.

[BoFaKe]

bạn ơi SOS là cái gì và tài liệu ở đâu vậy?

Nếu bạn muốn thì hãy đọc Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng :  Sang tao bat dang thuc.pdf   10.04MB   46 Số lần tải