Chủ đề này có 1 trả lời

[MIM]

Cho $\bigtriangleup ABC$ có $3$ góc nhọn và $BC=a,AC=b,AB=c$ đối diện các góc $A,B,C$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{A(b+c-a)}+\frac{b}{B(c+a-b)}+\frac{c}{C(a+b-c)}\geq \frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-08-2012 - 09:24

[Tham Lang]

BĐT tương đương :
$$\left (a+b+c\right )\left (\dfrac{1}{A(b+c-a)}+\dfrac{1}{B(c+a-b)}+\dfrac{1}{C(a+b-c)}\right ) \ge 3\left (\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right )$$
$$\Leftrightarrow [(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)]\left (\dfrac{1}{A(b+c-a)}+\dfrac{1}{B(c+a-b)}+\dfrac{1}{C(a+b-c)}\right ) \ge 3\left (\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right )$$
giả sử $a\le b\le c \Leftrightarrow b+c-a\ge a-b+c\ge a+b-c$
Cần chứng minh :
$A(b+c-a)\le B(a+c-b) \le C(a+b-c)$
Việc chứng minh này thực ra chỉ cần xét các tỉ số $\dfrac{A}{B}, \dfrac{B}{C}$ thông qua sự liên hệ giữa $\cos{A}, \cos{B}, \cos{C}$ với $A, B, C$ trên đường tròn lượng giác, nên nhớ, tỉ số các góc bằng tỉ số độ dài các cung bị chắn.