Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán:
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ và $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-08-2012 - 12:01

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán:
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ và $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$$

Xét 2 TH :
TH1 : $4(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2$.
Theo C-S :
$VT= \sum \frac{(a+2c)^2}{(a+2b)^2(a+2c)^2}\geq \frac{9(a+b+c)^2}{\sum (a+2b)^2(a+2c)^2}$
Vậy là ta chỉ cần CM đc : $9(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq \sum (a+2b)^2(a+2c)^2$
Bằng một số khai triển và nhóm trâu bò ta đc:
$\sum (a+2b)^2(a+2c)^2= (a+b+c)^4+18(ab+bc+ca)^2$
Điều này dẫn đến BĐT $\Leftrightarrow 9(\sum a)^{2}(\sum ab)\geq (\sum a)^4+18(\sum ab)^2$
hay là $(\sum a^2-\sum ab)(4\sum ab-\sum a^2)\geq 0$
Luôn đúng vì : $4\sum ab\geq \sum a^{2}$ và $\sum a^{2}\geq \sum ab$
TH2 : $a^2+b^2+c^2\geq 4(ab+bc+ca)$
Theo AM-GM : $\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^{2}}\geq \frac{2}{(a+2b)(b+2c)}$
Do đó ta chỉ cần CM : $\frac{2}{(a+2b)(b+2c)}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
( cái này chặt hon cái ban đầu )
$\Leftrightarrow \frac{b(a-2b-2c)}{(a+2b)(b+2c)(ab+bc+ca)}\geq 0$
$\Leftrightarrow a-2b-2c\geq 0$
Giả sủ $a=max${a,b,c}.
$a(a-2b-2c)= a^2+b^2+c^2-4(ab+bc+ca)+b(a-b)+c(a-c)+4bc\geq 0$
$\Rightarrow a-2b-2c\geq 0$
$\Rightarrow Q.E.D$

[tim1nuathatlac]

Bài toán:
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ và $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:$c=min\left \{ a,b,c \right \}$
$$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$$

qua nhiều ngày mày mò, cuối cùng mĩnh cũng nghĩ ra 1 cách làm có vẻ tự nhiên
ta sd 2 bổ đề sau vs mọi a,b, c ko âm
1) $\sum a^{3}-3abc\geq 4\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$
thật vậy ko mất tính tổng quát Gs $c=min\left \{ a,b,c \right \}$ ,đặt $a=c+x;b=c+y$ ta có
$VT-VP=3\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )c+x^{3}+y\left ( 2x-y \right )^{2}\geq 0$
2) $\sum ab^{2}\leq \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{3}-abc$
tương tự như trên Gs $c=min\left \{ a,b,c \right \}$ đặt $a=c+x;b=c+y$ ta có
$VT-VP=\frac{9\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )c+\left ( 2x-y \right )^{2}\left ( x+4y \right )}{27}\geq 0$
qua 2 bổ đề trên mọi người thử làm tiếp xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 01-09-2012 - 15:46