Chủ đề này có 3 trả lời

[dactai10a1]

Cho p và q là 2 số lẻ nguyên tố cùng nhau .CMR
$\sum\limits_{i = 1}^{\frac{{p - 1}}{2}} {\left\lfloor {\frac{{iq}}{p}} \right\rfloor } + \sum\limits_{j = 1}^{\frac{{q - 1}}{2}} {\left\lfloor {\frac{{jp}}{q}} \right\rfloor } = \left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{q - 1}}{2}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 08-08-2012 - 16:51

[The Gunner]

xét mạng lưới điểm $p \times q$ thì sẽ có $(p-1)(q-1)$
gốc tọa độ $O$ và đặt $A=(p,q)$
do $(p,q)=1$ nên ko có điểm nguyên nào nằm trên OA và mặt khác ta có OA chia lưới điểm thành hai phần đối xứng nhau nên số điểm nguyên trong nửa phần bằng $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$
xét phần nằm dưới OA thì ta có $\sum\limits_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\lfloor \frac{iq}{p} \rfloor$ chính là số điểm nguyên nằm trong nửa phần đầu của phần dưới OA, tức là nếu gọi $B(0,q);C(p,0)$ M là trung điểm OC thì tổng trên là các điểm nguyên nằm trong và trên biên tam giác OMN (MN là đường trung bình tam giác AOC,M thuôc OA)
Tương tự gọi K là trung điểm BA thì $\sum\limits_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\lfloor \frac{ip}{q} \rfloor$ chính là số điểm nguyên năm trong tam giác NKA
Do đó $\sum\limits_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\lfloor \frac{iq}{p} \rfloor+\sum\limits_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\lfloor \frac{ip}{q} \rfloor$ là số các điểm nguyên nằm trong tam giác ONM và ANK theo tính đối xứng và tính chất đường trung bình suy ra số điểm nguyên trong miền đó bằng $\frac{(p-1)(q-1)}{4}$
Ta được đpcm

[Stranger411]

Bài toán trên còn 1 cách phát biểu khác như sau:

[The Gunner]

Cách giải khác dưới hình thức phân hoạch tập hợp
Đặt $S=\left\{(x,y):1\leq x \leq \frac{p-1}{2},1\leq y \leq \frac{q-1}{2}\right\}$
suy ra $|S|=\frac{(p-1)(q-1)}{4}$
vì $(p,q)=1$ nên ko tồn tại bộ $(x,y)$ thỏa mãn $xq=yp$
nên ta xét $S_1= \left\{(x,y): 1 \leq x \leq \frac{p-1}{2},yp<xq ,1\leq y \leq \frac{q-1}{2}\right\}=\left\{(x,y):1\leq x \leq \frac{p-1}{2},1\leq y \leq \lfloor{\frac{xq}{p}}\rfloor \right\}$
tương tự xét tập
$S_1= \left\{(x,y): 1 \leq x \leq \frac{p-1}{2},yp>xq ,1\leq y \leq \frac{q-1}{2}\right\}=\left\{(x,y):1\leq y \leq \frac{q-1}{2},1\leq x \leq \lfloor{\frac{yp}{q}}\rfloor \right\}$
ta có $|S_1|=\sum\limits_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\lfloor{\frac{iq}{p}}\rfloor$
$|S_2|=\sum\limits_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\lfloor{\frac{ip}{q}}\rfloor$
mà $S_1\cup S_2=S$ và $S_1 \cap S_2= (rong)$ ( ko bik Latex Rỗng là j` nhỉ)
suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 09-08-2012 - 00:16