Chủ đề này có 1 trả lời

[MIM]

Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

$(1+\frac{1}{sinA})^n+(1+\frac{1}{sinB})^n+(1+\frac{1}{sinC})^n\geq 3+2n\sqrt{3},\forall n\geq 1$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần VIII năm $2002$)

[Tham Lang]

Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

$(1+\frac{1}{sinA})^n+(1+\frac{1}{sinB})^n+(1+\frac{1}{sinC})^n\geq 3+2n\sqrt{3},\forall n\geq 1$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần VIII năm $2002$)

Lời giải :
Ta đã quá quen thuộc với BĐT sau :
$$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C} \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
Áp dụng BĐT $Bernoulli$ ta có :
$\left (1+\dfrac{1}{\sin{A}}\right )^n \ge 1+\dfrac{n}{\sin{A}}$
$\left (1+\dfrac{1}{\sin{B}}\right )^n \ge 1+\dfrac{n}{\sin{B}}$
$\left (1+\dfrac{1}{\sin{C}}\right )^n \ge 1+\dfrac{n}{\sin{C}}$
Suy ra :
$$\left (1+\dfrac{1}{\sin{A}}\right )^n+\left (1+\dfrac{1}{\sin{A}}\right )^n +\left (1+\dfrac{1}{\sin{A}}\right )^n \ge 3+n\left (\dfrac{1}{\sin{A}}+\dfrac{1}{\sin{B}}+\dfrac{1}{\sin{C}} \right )$$
$$\ge 3+\dfrac{9n}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}} \ge 3+\dfrac{9n}{3\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=3+2n\sqrt{3}$$
BĐT đã được chứng minh.