Chủ đề này có 5 trả lời

[Poseidont]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2$
P/s: không khó

[nguyenta98]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2$
P/s: không khó

Giải như sau:
$\blacksquare$ Nếu trong $x,y$ có một số bằng $0$ thì dễ dàng giải
$\blacksquare$ Nếu $x,y$ đều khác $0$
TH1: $x,y$ cùng dấu suy ra có 2 khả năng
$\boxed{\text{KN1}}$ $x,y$ cùng $>0$, WLOG $x\geq y$
Suy ra viết lại đề $(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2$
$\blacksquare$ Nếu $x=y \Rightarrow x^2+y=0 \Rightarrow x=y=0$ loại vì ta đang xét $x,y\neq 0$
$\blacksquare$ Nếu $x>y$ ta có $(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2$ ta thấy $(x^2+y)(y^2+x)>x^2y^2 \Rightarrow (x-y)^2>x^2y^2 \Rightarrow x-y>xy \Rightarrow 1>(x-1)(y-1)$ suy ra $(x,y)$ có một số bằng $1$ nếu $x=1 \Rightarrow y=0$ (do $x>y$) vô lý vì $x,y\neq 0$ suy ra $y=1 \Rightarrow (x^2+1)(x+1)=(x-1)^2$ dễ dàng giải ra vô nghiệm
$\boxed{\text{KN2}}$ $x,y$ cùng $<0$, ta có thể thay $x=-x,y=-y$ khi đó viết lại đề với $(x,y)$ mới đều dương
$(x^2-y)(y^2-x)=(x-y)^2$ WLOG $x\geq y$
$\blacksquare$ Nễu $x=y \Rightarrow x^2-y=0$ hoặc $y^2-x=0$ mà $x=y$ nên suy ra $x=y=1$ như ở trên ta đã đổi biến nên nghiệm sẽ là $(-1,-1)$
$\blacksquare$ Nếu $x>y$ ta có $(x^2-y)(y^2-x)=(x-y)^2 \Rightarrow x=y+k$ với $k$ nguyên dương
Suy ra $((y+k)^2-y)(y^2-(y+k))=k^2 \Rightarrow (y^2+2yk+k^2-y)(y^2-y+k)=k^2$
Ta thấy $y^2-y+k\geq k\geq 1$ (do $k$ nguyên dương) mặt khác $y^2+2yk+k^2-y=y^2-y+2yk+k^2>k^2$ (do $y,k\geq 1$)
Nên suy ra $(y^2+2yk+k^2-y)(y^2-y+k)>k^2>VP$ vô lý
TH2: $x,y$ khác dấu
$\boxed{\text{KN1}}$ $x>0,y<0$ suy ra ta có thể thay $y=-y$
Như vậy ta thay đề là $(x^2-y)(y^2+x)=(x+y)^2$
Giả sử $gcd(x,y)=d \Rightarrow x=dm,y=dn,gcd(m,n)=1$ với $d,m,n\geq 1$
Suy ra $(dm^2-n)(dn^2+m)=(m+n)^2$
Gọi $gcd(dm^2-n,dn^2+m)=t \Rightarrow dm^2-n=t.u,dn^2+m=t.v,gcd(u,v)=1$
Suy ra $t^2.u.v=(m+n)^2 \Rightarrow m+n \vdots t \Rightarrow u.v=\left(\dfrac{m+n}{t}\right)^2$
Mà $gcd(u,v)=1$ mà tích chính phương nên suy ra $u=a^2,v=b^2$ và $\dfrac{m+n}{t}=ab \Rightarrow m+n=tab$ với $gcd(a,b)=1$
Mặt khác $dm^2-n=t.u=ta^2$ và $dn^2+m=t.v=tb^2$ Nên suy ra
$(dn^2+m)-(dm^2-n)=tb^2-ta^2 \Rightarrow d(n-m)(n+m)+(m+n)=t(b^2-a^2) \Rightarrow (m+n)\left(d(n-m)+1\right)=t(b^2-a^2)$
Mặt khác $m+n=tab$ nên thay vào $tab\left(d(n-m)+1\right)=t(b^2-a^2) \Rightarrow ab\left(d(n-m)+1\right)=b^2-a^2$
Suy ra $b^2-a^2 \vdots ab$ suy ra $a^2 \vdots b$ mà $gcd(a,b)=1$ suy ra $b=1$
Do đó $1^2-a^2 \vdots a \Rightarrow 1 \vdots a \Rightarrow a=1$ suy ra $a=b=1$ suy ra $ab\left(d(n-m)+1\right)=b^2-a^2=0$
Suy ra $\left(d(n-m)+1\right)=0 \Rightarrow d(n-m)=-1$ suy ra $d=1$ nên $n-m=-1$ do đó $x=dm=m$ và $y=dn=n$
Nên $y-x=n-m=-1 \Rightarrow y-x=-1 \rightarrow y=x-1$
Thế vào phương trình ban đầu suy ra
$(x^2-y)(y^2+x)=(x+y)^2 \Rightarrow (x^2-(x-1))((x-1)^2+x)=(2x-1)^2$
$\Rightarrow (x^2-x+1)^2=(2x-1)^2 \Rightarrow x^2-x+1=2x-1$ hoặc $x^2-x+1=-2x+1$ khi đó $x=1,2$ (do $x$ nguyên dương)
Nếu $x=1 \Rightarrow y=0$ vô lý suy ra $x=2 \rightarrow y=x-1=1 \Rightarrow (x,y)=(2,1)$ mà ta đã đổi biến $y$ thành $-y$ nên suy ra đáp số là $(2,-1)$
$\boxed{\text{KN2}}$ $x<0,y>0$ suy ra thay $x=-x$ khi đó viết lại đề với $(x,y)$ mới đều dương
Như vậy $(x^2+y)(y^2-x)=(x+y)^2$ khi đó làm tương tự như trên
Vậy $\boxed{(x,y)=(-1,-1),(2,-1),(-1,2),(0,0),(0,1),(1,0)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-08-2012 - 16:27

[FanquanA1]

Ta có: $(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2\Leftrightarrow xy(x+1)(y+1)=(1-xy)(x-y)^2$. Nếu $x = 0$ thì $y = 0$. Nếu $x , y \neq 0$ thì do $(xy,1-xy)=1$ nên $(x+1)(y+1)$ chia hết cho $1-xy$ hay $x+y+2$ chia hết cho $1-xy$. Xét các TH x,y cùng dương, cùng âm hay khác dấu rồi sử dụng bất đẳng thức làm hẹp miền giá trị của x và y là được.

[nguyenta98]

Ta có: $(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2\Leftrightarrow xy(x+1)(y+1)=(1-xy)(x-y)^2$

Rất tiếc anh phân tích sai rồi
Nếu như theo kết quả của anh suy ra $(x^2+y)(y^2+x)+xy(x+1)(y+1)=(x-y)^2+(1-xy)(x-y)^2$
Suy ra $(x^2+y)(y^2+x)+xy(x+1)(y+1)-(x-y)^2-(1-xy)(x-y)^2=0$
Nhưng kết quả đó không đúng, có thể tham khảo ở http://www.wolframal...2-(1-xy)(x-y)^2 rõ ràng không thể $=0$ như vậy chỗ này của anh bị sai

[henry0905]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$(x^2+y)(y^2+x)=(x-y)^2$
P/s: không khó

Mình đã đọc lời giải bài này trong cuốn "Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học: Chuyên đề 5 PT nghiệm nguyên" của thầy Phan Huy Khải (trang 149) ghi:
Phương trình đã cho tương đương với $2y^{3}+x^{2}y^{2}+xy+3x^{2}y-3xy^{2}=0$
Không hiểu sao có cái phương trình đó và nghiệm mà thầy tìm ra là:
(9;-6);(9;-21);(8;10);(1;-1);(k;0) $\forall k\in \mathbb{Z}$
Ai giải thích dùm mình với (thế các nghiệm vào thì thấy sai hết)

[nguyenta98]

Mình đã đọc lời giải bài này trong cuốn "Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học: Chuyên đề 5 PT nghiệm nguyên" của thầy Phan Huy Khải (trang 149) ghi:
Phương trình đã cho tương đương với $2y^{3}+x^{2}y^{2}+xy+3x^{2}y-3xy^{2}=0$
Không hiểu sao có cái phương trình đó và nghiệm mà thầy tìm ra là:
(9;-6);(9;-21);(8;10);(1;-1);(k;0) $\forall k\in \mathbb{Z}$
Ai giải thích dùm mình với (thế các nghiệm vào thì thấy sai hết)

Ha ha, bạn đúng đấy, thầy Khải làm sai bạn à, bài đó thầy làm với $(x-y)^3$ còn bài này là $(x-y)^2$ he he, thầy in sách sai đấy bạn à