Chủ đề này có 1 trả lời

[Stranger411]

Tìm $a,b \in {\mathbb{Z}^ + }$ sao cho $\frac{{{a^2} - 2}}{{2{b^2} + 3}} \in \mathbb{Z}$

[nguyenta98]

Tìm $a,b \in {\mathbb{Z}^ + }$ sao cho $\frac{{{a^2} - 2}}{{2{b^2} + 3}} \in \mathbb{Z}$

Giải như sau:
Bổ đề: $p \in \mathbb{P}, p \equiv 3k+2, p|a^2+3b^2 \Leftrightarrow p|a,b$
Áp dụng
Ta có $\dfrac{a^2-2}{2b^2+3}=k \in \mathbb{Z}$
Suy ra $a^2-2=k(2b^2+3) \Rightarrow 3a^2-6=3k(2b^2+3) \Rightarrow 3a^2-6+4b^2+6=(3k+2)(2b^2+3)$
$\Rightarrow 3a^2+(2b)^2=(3k+2)(2b^2+3)$
Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $3k+2$ mà $p$ có dạng $3t+2$ (vì nếu các ước nguyên tố đều có dạng $3t+1$ thì vô lý)
Giả sử $3k+2=\prod \left(p_k^{a_k}\right).\prod \left(q_j^{b_j}\right)$ với $p_i \equiv 2 \pmod{3}$ và $q_i \equiv 2 \pmod{3}$ nên trong $a_i$ với $i=\overline{1,k}$ thì tồn tại ít nhất một số $a_i$ sao cho $a_i$ lẻ vì giả sử ngược lại suy ra mọi ước chia $3$ dư $2$ của số $3k+2$ đều mũ chẵn suy ra $3k+2$ chia $3$ dư $1$ mâu thuẫn
Nên giả sử $a_i$ lẻ suy ra chọn số nguyên tố $p_i$ tương ứng và đặt $a_i=i,p_i=p$ khi ấy suy ra
Như vậy $3k+2=p^t.q$ với $gcd(p,q)=1$ và $t$ lẻ
Do đó trở lại phương trình $3a^2+(2b)^2=p^t.q(2b^2+3)$
Áp dụng bổ đề suy ra $a \vdots p, 2b \vdots p$
Suy ra $a=pa',2b=p(2b)'$
Suy ra $3a'^2+(2b)'^2=p^{t-2}.q(2b^2+3)$
Vì $2b \vdots p \rightarrow 2b^2 \vdots p$ mà $p$ có dạng $3k+2$ nên $gcd(2b^2+3,p)=gcd(3,p)=1$
Lúc này ta có phương trình $3a'^2+(2b)'^2=p^{t-2}.q(2b^2+3)$ lại có $t$ lẻ nên $t-2$ cũng lẻ
Chứng minh tương tự ta cứ lùi lùi tiếp tục như vậy thì $t$ giảm còn $t-2$ giảm tiếp còn $t-4,.....$ giảm đến khi còn $1$ (là số lẻ)
Đến đoạn cuối $3a_k^2+(2b)_k^2=p.q.(2b^2+3)$ thì chứng minh tương tự có $a_k \vdots p, (2b)_k \vdots p \Rightarrow VT \vdots p^2$ mà $VP=p.q.(2b^2+3) \vdots p$ mà không $\vdots p^2$ (do $gcd(q,p)=1$ và cm ở trên $gcd(2b^2+3,p)=1$)
Nên mâu thuẫn
Vậy bài toán không có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-08-2012 - 18:18