Chủ đề này có 4 trả lời

[ntuan5]

1/Cho 3 số $x,y,z \in[0;2]$ và hằng số $a \ge 4$
Hãy chứng minh:
$$(a+x^2)(a+y^2)(a+z^2) \ge [a+\frac{(x+y+z)^2}{9}]^3$$
và:
$$(a+x^3)(a+y^3)(a+z^3) \ge [a+\frac{(x+y+z)^3}{27}]^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntuan5: 15-08-2012 - 19:08

[ntuan5]

Các bạn chỉ cần c/m cái trên thôi cái dưới quy nạp cũng được

[le_hoang1995]

1/Cho 3 số $x,y,z \in[0;2]$ và hằng số $a \ge 1$
Hãy chứng minh:
$$(a+x^2)(a+y^2)(a+z^2) \ge [a+\frac{(x+y+z)^2}{9}]^3$$
và:
$$(a+x^3)(a+y^3)(a+z^3) \ge [a+\frac{(x+y+z)^3}{27}]^3$$

Sao câu đầu tiên thay thấy không đúng nhỉ, thay $a=1,x=1,y=1,z=2$ nó ra
$$(1+1^2)(1+1^2)(1+2^2)-\left [ 1+\left ( \frac{1+1+2}{3} \right )^2 \right ]^3=-1.433$$

[triethuynhmath]

1/Cho 3 số $x,y,z \in[0;2]$ và hằng số $a \ge 1$
Hãy chứng minh:
$$(a+x^2)(a+y^2)(a+z^2) \ge [a+\frac{(x+y+z)^2}{9}]^3$$
và:
$$(a+x^3)(a+y^3)(a+z^3) \ge [a+\frac{(x+y+z)^3}{27}]^3$$

Sao câu đầu tiên thay thấy không đúng nhỉ, thay $a=1,x=1,y=1,z=2$ nó ra
$$(1+1^2)(1+1^2)(1+2^2)-\left [ 1+\left ( \frac{1+1+2}{3} \right )^2 \right ]^3=-1.433$$

Mình nghĩ là $\begin{bmatrix} a+\frac{(x+y+z)^2}{9} \end{bmatrix}^2$ thì chuẩn hơn nhỉ

[le_hoang1995]

1/Cho 3 số $x,y,z \in[0;2]$ và hằng số $a \ge 1$
Hãy chứng minh:
$$(a+x^2)(a+y^2)(a+z^2) \ge [a+\frac{(x+y+z)^2}{9}]^3$$
và:
$$(a+x^3)(a+y^3)(a+z^3) \ge [a+\frac{(x+y+z)^3}{27}]^3$$

Chỉ cần thay dữ kiện $a \ge 1$ bằng $a\ge 4$ là cả hai bài toán trên trở thành đúng.
Câu đầu xét hàm số $f(t)=ln(a+t^2)$ với $a\ge 4, t \in [0;2]$
$\Rightarrow f'(t)=\frac{2t}{a+t^2}\Rightarrow f''(t)=\frac{2(a+t^2)-4t^2}{(a+t^2)^2}=\frac{2(a-t^2)}{(a+t^2)^2}$
Vì $a\ge 4, t \in [0;2]$ nên $a-t^2 \ge 0$, suy ra hàm số lồi nên BĐT đầu tiên đúng.
BĐT thứ hai cũng hoàn toàn tượng tự với hàm
$$f(t)=ln(a+t^3)\Rightarrow f'(t)=\frac{3t^2}{a+t^3}$$
$$\Rightarrow f''(t)=\frac{6t(a+t^3)-9t^4}{(a+t^3)^2}=\frac{3t(2a-t^3)}{(a+t^3)^2} \ge 0$$
Suy ra hàm số lồi nên BĐT thứ hai đúng theo BĐT Jensen