Chủ đề này có 2 trả lời

[uyenha]

Cho dãy $ a_{o},a_{1},a_{2},...$ thỏa mãn
$a_{n+m}+a_{m-n}=1/2(a_{2m}+a_{2n})$
với mọi m,n tự nhiên ,$m\geq n$ và $a_{1}=1$,tìm $a_{n}$

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
a_{m + n} + a_{m - n} = \frac{{a_{2m} + a_{2n} }}{2},\left( 1 \right) \\
a_1 = 1 \\
m = n: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow a_2 + a_0 = a_2 \Rightarrow a_0 = 0 \\
m: = 1;n: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow 2a_1 = \frac{{a_2 }}{2} \Rightarrow a_2 = 4 \\
m: = n + 1,\left( 1 \right) \Rightarrow a_{2n + 1} + a_1 = \frac{{a_{2n + 2} + a_{2n} }}{2} \Leftrightarrow a_{2n + 2} = 2a_{2n + 1} - a_{2n} + 2,\left( 2 \right) \\
m: = n + 2,\left( 1 \right) \Rightarrow a_{2n + 2} + a_2 = \frac{{a_{2n + 4} + a_{2n} }}{2} \Leftrightarrow a_{2n + 4} = 2a_{2n + 2} - a_{2n} + 8 \\
\left( 2 \right) \Rightarrow a_{2n + 4} = 2a_{2n + 3} - a_{2n + 2} + 2 = 2a_{n + 2} - a_{2n} + 8 \Rightarrow a_{2n + 3} = \frac{3}{2}a_{2n + 2} - \frac{1}{2}a_{2n} + 3 \\
n: = n - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_{2n} = 2a_{2n - 1} - a_{2n - 2} + 2 \\
a_{2n + 1} = \frac{3}{2}a_{2n} - \frac{1}{2}a_{2n - 2} + 3 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Đặt dãy $(u_n);(v_n)$ sao cho $u_n=a_{2n};v_n=a_{2n+1}$. Do đó, ta có:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 0;u_1 = 4;v_0 = 1 \\
u_n = 2v_{n - 1} - u_{n - 1} + 2,\left( 3 \right) \\
v_n = \frac{3}{2}u_n - \frac{1}{2}u_{n - 1} + 3,\left( 4 \right) \\
\end{array} \right.
\]
Thế $(4)$ vào $(3)$, ta có
\[
\begin{array}{l}
u_n = 2\left( {\frac{3}{2}u_{n - 1} - \frac{1}{2}u_{n - 2} + 3} \right) - u_{n - 1} + 2 \\
\Leftrightarrow u_n = 2u_{n - 1} - u_{n - 2} + 8 \\
\Leftrightarrow u_n - u_{n - 1} = u_{n - 1} - u_{n - 2} + 8,\left( 5 \right) \\
\end{array}
\]
Đặt dãy $(x_n)$ với $x_n=u_n-u_{n-1}$
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 4 \\
x_n = x_{n - 1} + 8 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x_n = x_1 + 8\left( {n - 1} \right) = 8n - 4 \Rightarrow u_n = u_{n - 1} + 8n - 4 \\
\Rightarrow u_n = u_{n - 2} + 8\left[ {n + \left( {n - 1} \right)} \right] - 8 = u_{n - 3} + 8\left[ {n + \left( {n - 1} \right) + \left( {n - 2} \right)} \right] - 12 \\
= ... = u_0 + 8\left[ {n + \left( {n - 1} \right) + ... + 1} \right] - 4n = 4n\left( {n + 1} \right) - 4n = 4n^2 \\
\left( 4 \right) \Rightarrow v_n = \left( {2n + 1} \right)^2 \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_{2n} = u_n = 4n^2 = \left( {2n} \right)^2 \\
a_{2n + 1} = v_n = \left( {2n + 1} \right)^2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow a_n = n^2 ,\forall n:True \\
\end{array}
\]

[Crystal]

Cho dãy $ a_{o},a_{1},a_{2},...$ thỏa mãn
$a_{n+m}+a_{m-n}=1/2(a_{2m}+a_{2n})$
với mọi m,n tự nhiên ,$m\geq n$ và $a_{1}=1$,tìm $a_{n}$

LỜI GIẢI 2.

$ \bullet \,\,\,\,$ Cho $m=n=0$ thì ${a_0} = 0$

$ \bullet \,\,\,\,$ Cho $m=1,n=0$ thì $2{a_1} = \frac{1}{2}\left( {{a_2} + {a_0}} \right) \Rightarrow {a_2} = 4$

Ta chứng minh ${a_n} = {n^2}\,\,\,\left( 1 \right)$ bằng quy nạp.

Thật vây, với $n=0,1$ thì $(1)$ đúng.

Giả sử $(1)$ đúng đến $n = k,\,\,\left( {k \in \mathbb{N^*}} \right)$ hay ${a_k} = {k^2}$.

Từ giả thiết, thay $m = k,n = 0$, ta có: $2{a_k} = \frac{1}{2}\left( {{a_{2k}} + {a_0}} \right) \Rightarrow {a_{2k}} = 4{a_k} = 4{k^2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Tiếp tục thay $m = k,n = 1$, ta có: ${a_{k + 1}} + {a_{k - 1}} = \frac{1}{2}\left( {{a_{2k}} + {a_2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Thay ${a_k} = {k^2}$ và $(2)$ vào $(3)$ ta có: ${a_{k + 1}} + {\left( {k - 1} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4{k^2} + 4} \right) \Leftrightarrow {a_{k + 1}} = {k^2} + 2k + 1 = {\left( {k + 1} \right)^2}$

Vậy $(1)$ đúng với $n=k+1$. Theo nguyên lí quy nạp toán hoc, ta có điều phải chứng minh.