Chủ đề này có 7 trả lời

[lth080998]

$a\geq 8,b\geq 9,c\geq 10,a^{2}+b^{2}+c^{2}=266.CM:a+b+c\geq 28$

[khanh3570883]

$a\geq 8,b\geq 9,c\geq 10,a^{2}+b^{2}+c^{2}=266.CM:a+b+c\geq 28$

Từ điều kiện: $a \ge 8;b \ge 9;c \ge 10$ thì ta suy ra:
\[a + b + c \ge 27\]
Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra.
Để chứng minh $a + b + c \ge 28$ ta chỉ cần chứng minh một trong 3 số a, b, c phải tăng thêm 1 thì điều kiện ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 266$ mới thõa mãn. Thật vậy, giả sử ngược lại, ta không cần phải tăng thêm 1 vào bất kì số nào trong 3 số a, b, c. Khi đó:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} < {8^2} + {9^2} + {11^2} = 266\]
Như vậy không tồn tại bộ số $\left( {a;b;c} \right)$ nào thõa mãn $8 \le a < 9;9 \le b < 10;10 \le c < 11$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 266$
Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có đpcm.

[lth080998]

Từ điều kiện: $a \ge 8;b \ge 9;c \ge 10$ thì ta suy ra:
\[a + b + c \ge 27\]
Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra.
Để chứng minh $a + b + c \ge 28$ ta chỉ cần chứng minh một trong 3 số a, b, c phải tăng thêm 1 thì điều kiện ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 266$ mới thõa mãn. Thật vậy, giả sử ngược lại, ta không cần phải tăng thêm 1 vào bất kì số nào trong 3 số a, b, c. Khi đó:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} < {8^2} + {9^2} + {11^2} = 266\]
Như vậy không tồn tại bộ số $\left( {a;b;c} \right)$ nào thõa mãn $8 \le a < 9;9 \le b < 10;10 \le c < 11$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 266$
Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có đpcm.

Tại sao $a^{2}+b^{2}+c^{2}<266$

[khanh3570883]

Tại sao $a^{2}+b^{2}+c^{2}<266$

Xét với $a = 8;b = 9;c = 10$ thì ta có: ${a^2} + {b^2} + {c^2} < 266$ và $a + b + c = 27$. Bây giờ ta thêm các đại lượng $x,y,z > 0$ lần lượt vào 3 số a, b, c.
+)Nếu $x + y + z \ge 1$ thì ta có đpcm.
+) Nếu $x + y + z < 1$ thì:
\[{\left( {a + x} \right)^2} + {\left( {b + y} \right)^2} + {\left( {c + z} \right)^2} < {a^2} + {b^2} + {\left( {c + x + y + z} \right)^2} < 266\]
Nhớ a, b, c ở đây lần lượt là các số 8, 9, 10.

[aries34]

Ngoài phản chứng ra có cách nào tự nhiên hơn không các bạn nhỉ ???
Khi đoán được nghiệm a= 8, b=9, c=11 thì có thể giải theo dạng $(a-\alpha )(a-\beta )\geq 0$ vào bài này được không ??

[triethuynhmath]

Ngoài phản chứng ra có cách nào tự nhiên hơn không các bạn nhỉ ???
Khi đoán được nghiệm a= 8, b=9, c=11 thì có thể giải theo dạng $(a-\alpha )(a-\beta )\geq 0$ vào bài này được không ??

$a\geq 8,b\geq 9,c\geq 10,a^{2}+b^{2}+c^{2}=266.CM:a+b+c\geq 28$

Cách giải tự nhiên hơn:
Đặt $a=x+8,b=y+9,c=z+10\Rightarrow x,y,z\geq 0$
Giả thiết cho ta :
$x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z+64+81+100=266\Rightarrow x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z=21$
Mặt khác :
Ta cần chứng minh: $a+b+c\geq 28\Leftrightarrow x+y+z\geq 1$
Mặt khác :
$21=x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z\leq (x+y+z)^2+20x+20y+20z(x,y,z\geq 0)\Rightarrow (x+y+z)^2+20(x+y+z)-21\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z-1)(x+y+z+21)\geq 0\Leftrightarrow x+y+z\geq 1(Q.E.D)$

[aries34]

Cách giải tự nhiên hơn: Đặt $a=x+8,b=y+9,c=z+10\Rightarrow x,y,z\geq 0$ Giả thiết cho ta : $x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z+64+81+100=266\Rightarrow x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z=21$ Mặt khác : Ta cần chứng minh: $a+b+c\geq 28\Leftrightarrow x+y+z\geq 1$ Mặt khác : $21=x^2+y^2+z^2+16x+18y+20z\leq (x+y+z)^2+20x+20y+20z(x,y,z\geq 0)\Rightarrow (x+y+z)^2+20(x+y+z)-21\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z-1)(x+y+z+21)\geq 0\Leftrightarrow x+y+z\geq 1(Q.E.D)$

Bạn có chắc khi làm trội dấu = sẽ xảy ra không ???

Giải dấu "=":

$\left\{\begin{matrix}
20x+20y+20z=14x + 16y+18z\\
x+y+z=1
\end{matrix}\right.$
suy ra
$\left\{\begin{matrix}
3x+2y+z=0 (1) \\
x+y+z=1(2)
\end{matrix}\right.$
Từ (1) => x=y=z=0 (do x, y, z ko âm) thay vào (2) không thỏa mãn
Vậy đến đây dấu = ko xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aries34: 20-08-2012 - 12:39

[BoFaKe]

Bạn có chắc khi làm trội dấu = sẽ xảy ra không ???

Giải dấu "=":

$\left\{\begin{matrix}
20x+20y+20z=14x + 16y+18z\\
x+y+z=1
\end{matrix}\right.$
suy ra
$\left\{\begin{matrix}
3x+2y+z=0 (1) \\
x+y+z=1(2)
\end{matrix}\right.$
Từ (1) => x=y=z=0 (do x, y, z ko âm) thay vào (2) không thỏa mãn
Vậy đến đây dấu = ko xảy ra

Thế còn các số hạng $2xy+2yz+2zx$ thì bạn tính sao,chẳng phải nó cũng được thêm vào để làm trội sao.