i) abc = $2012^3$
ii) a + b + c - 2012 là ước nguyên tố của ab + bc + ca - $2012^2$
CMR: Trong 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 2012.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 19-08-2012 - 20:28
#1
Đã gửi 18-08-2012 - 21:53
Beautifulsunrise
-
- Thành viên
-
- 450 Bài viết
Sĩ quan
Các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a $\geq$ b $\geq$ c và:
i) abc = $2012^3$
ii) a + b + c - 2012 là ước nguyên tố của ab + bc + ca - $2012^2$
CMR: Trong 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 2012.
i) abc = $2012^3$
ii) a + b + c - 2012 là ước nguyên tố của ab + bc + ca - $2012^2$
CMR: Trong 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 2012.
- Mai Duc Khai, wronghole và chardhdmovies thích
#2
Đã gửi 19-08-2012 - 10:53
FanquanA1
-
- Thành viên
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
Ta tổng quát bài toán bằng cách đặt $d=2012$. Giả sử $p=a+b+c-d$ là số nguyên tố
Ta có: $c\leq d\leq a$ và $d(ab+bc+ ca-d^2)-d^2(a+b+ c-d)\vdots p \Leftrightarrow d^3-(a+b+c)d^2+(ab+bc+ca)d-d^3=(d-a)(d-b)(d-b)\vdots p$
Suy ra p là ước của 1 trong các số $d-a$, $d-b$, $d-c$.
Nếu $a=c$ thì $a=b=c=d$
Nếu $a> c$ thì $a+b+2c>2d$ (AM-GM) $\Rightarrow p>d-c$, $p=a+b+c-d>a-d$
Suy ra p không là ước của $d-a$ và $d-c$ nên p chia hết $d-b$
Nếu $d>b$ thì do $p=a+b+c-d\geq 2d> d-b$ nên vô lý.
Nếu $b>d$ thì do $p> b-d$, vô lý.
Vậy $b=d$
Ta có: $c\leq d\leq a$ và $d(ab+bc+ ca-d^2)-d^2(a+b+ c-d)\vdots p \Leftrightarrow d^3-(a+b+c)d^2+(ab+bc+ca)d-d^3=(d-a)(d-b)(d-b)\vdots p$
Suy ra p là ước của 1 trong các số $d-a$, $d-b$, $d-c$.
Nếu $a=c$ thì $a=b=c=d$
Nếu $a> c$ thì $a+b+2c>2d$ (AM-GM) $\Rightarrow p>d-c$, $p=a+b+c-d>a-d$
Suy ra p không là ước của $d-a$ và $d-c$ nên p chia hết $d-b$
Nếu $d>b$ thì do $p=a+b+c-d\geq 2d> d-b$ nên vô lý.
Nếu $b>d$ thì do $p> b-d$, vô lý.
Vậy $b=d$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FanquanA1: 19-08-2012 - 10:54
- nguyenta98 và Beautifulsunrise thích
THPT Phan Boi Chau,Nghe An
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
