Chủ đề này có 11 trả lời

[viet 1846]

Cho $a;b;c\ge 0$

Chứng minh rằng:

\[{a^5} + {b^5} + {c^5} + {d^5} + {e^5} + 15abcde \ge abcd\left( {a + b + c + d} \right) + abce\left( {a + b + c + e} \right) + abde\left( {a + b + d + e} \right) + acde\left( {a + c + d + e} \right) + bcde\left( {b + c + d + e} \right)\]

Hoàng Quốc Việt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 23-08-2012 - 13:51

[viet 1846]

Chúng ta đã biết hai bất dẳng thức nổi tiếng:

Thứ nhất là $Schur$

Cho $a;b;c\ge 0$ chứng minh rằng:

$a^3+b^3+c^3+3abcd\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Và Bđt $Tukervici$

Cho $a;b;c;d\ge 0$ chứng minh rằng:

$a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd\ge a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2$

Nhìn qua ta có thể thấy chúng na ná nhau. Không biết là ta có thể tổng quát BĐT này cho $n$ biến không?

[Tham Lang]

Chứng minh rằng:

\[{a^5} + {b^5} + {c^5} + {d^5} + {e^5} + 15abcde \ge abcd\left( {a + b + c + cd} \right) + abde\left( {a + b + d + e} \right) + acde\left( {a + c + d + e} \right) + bcde\left( {b + c + d + e} \right)\]

Hoàng Quốc Việt

Anh ơi, có thiếu $abce (a+b+c+e)$ không ạ . Và một chỗ anh viết sai đó là $abcd(a+b+c+d)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 19-08-2012 - 16:45

[viet 1846]

Anh ơi, có thiếu $abce (a+b+c+e)$ không ạ . Và một chỗ anh viết sai đó là $abcd(a+b+c+d)$

Anh sửa lại rồi em, gõ lỗi quá.

[L Lawliet]

Bai toan nay la 1 bai dac trung cho phuong phap EV.Nham giai quyet nhung bai toan doi xung cuc kho.Neu giai bai nay thi kha la dai,phai cung minh mot vai tinh chat cua BDT EV cua Vasjle:Tong quat bai toan:Cho x1,x2,...xn >0 thi x1^n +x2^n+....+xn^n +n(n-1)x1.x2.x3...xn >=x1.xx2.x3...xn(x1+x2+...xn)(1/x1 + 1/x2 +....+1/xn)Hihi.

Cach chung minh da the hien rat ro trong quyen cua vasile critoaje.

Bạn học gõ $\LaTeX$ tại đây, chú ý rút kinh nghiệm lần sau và viết tiếng Việt có dấu nhé!!!

[Tham Lang]

Như vậy, bài toán tổng quát đã được đưa ra, Một phát biểu khác cho bài toán này đó là :
$$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n+\left (n^2-2n\right )a_1a_2...a_n \ge \sum a_1a_2...a_{n-1}\left (a_1+a_2+...+a_{n-1}\right )$$
@ anh Hoàng Quốc Việt: em cũng có nhận xét thêm, với 4 biến thì có vẻ, bài toán anh Việt đưa ra không có ý nghĩa trong bài toán tổng quát cho lắm .
@nguyenvanmau : Bạn có thể post lời giải tổng quát lên đây được không, cảm ơn nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 21-08-2012 - 15:26

[nguyenvanmau]

Nói thật là tớ muốn giải lắm nhưng mà Ban Điều hành THPT L Lawliet kinh quá nên không dám post bài.Nên bạn liên hệ ních yahoo nhé. (anhyeuem_bn57)

[L Lawliet]

Nói thật là tớ muốn giải lắm nhưng mà Ban Điều hành THPT L Lawliet kinh quá nên không dám post bài.Nên bạn liên hệ ních yahoo nhé. (anhyeuem_bn57)

Xin lỗi bạn, mình chỉ là Điều hành viên không phải là Ban điều hành và bạn viết tiếng Việt không dấu, $\LaTeX$ sai quy định bị mình nhắc nhở là kinh à???

Spoiler

Nhịn nhục có giới hạn!

[Ispectorgadget]

Cho $a;b;c\ge 0$

Chứng minh rằng:

\[{a^5} + {b^5} + {c^5} + {d^5} + {e^5} + 15abcde \ge abcd\left( {a + b + c + d} \right) + abce\left( {a + b + c + e} \right) + abde\left( {a + b + d + e} \right) + acde\left( {a + c + d + e} \right) + bcde\left( {b + c + d + e} \right)\]

Hoàng Quốc Việt

Bài này khai triển ra quá khủng em nêu sơ hướng làm không biết đúng không
$f(a;b;c;d;e)=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5+15abcde-\sum abcd(a+b+c+d)$
Điểm cực trị là nghiệm của hệ \[\frac{{\partial f}}{{\partial a}} = \frac{{\partial f}}{{\partial b}} = \frac{{\partial f}}{{\partial c}}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^4} + 15bcde = 2abcd + {b^2}cd + {c^2}ad + {a^2}bc + 2abce + {b^2}ce + {c^2}be + {e^2}bc + 2abde + {b^2}de + {d^2}be + {e^2}bd + 2ade + {c^2}de + {d^2}ce + {e^2}cd\\
.....
\end{array} \right.\]
Sau đó cộng theo vế rồi dùng BĐT Tukervici.

[viet 1846]

Bài này khai triển ra quá khủng em nêu sơ hướng làm không biết đúng không
$f(a;b;c;d;e)=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5+15abcde-\sum abcd(a+b+c+d)$
Điểm cực trị là nghiệm của hệ \[\frac{{\partial f}}{{\partial a}} = \frac{{\partial f}}{{\partial b}} = \frac{{\partial f}}{{\partial c}}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^4} + 15bcde = 2abcd + {b^2}cd + {c^2}ad + {a^2}bc + 2abce + {b^2}ce + {c^2}be + {e^2}bc + 2abde + {b^2}de + {d^2}be + {e^2}bd + 2ade + {c^2}de + {d^2}ce + {e^2}cd\\
.....
\end{array} \right.\]
Sau đó cộng theo vế rồi dùng BĐT Tukervici.

Ban đầu anh nhẩm nhẩm cũng nghĩ thế, nhưng hình như không đúng em ak`.

[Ispectorgadget]

Ban đầu anh nhẩm nhẩm cũng nghĩ thế, nhưng hình như không đúng em ak`.

Em check lại thì không đúng thật anh post lời giải lên được không.

[viet 1846]

Em check lại thì không đúng thật anh post lời giải lên được không.

Ban đầu anh cũng nghĩ như em, đến giờ thì tịt rồi,