Chủ đề này có 7 trả lời

[robin997]

Cho $f:R \rightarrow R$ thỏa:
$f(x)+f(5x)=\frac{0,5}{x-0,5}$
( $x \in R$\{0,5} )
Tìm hàm f ?
___________
Đây kết quả, một phương trình 'lạ'... sau một hồi chuẩn hóa một phương trình hàm đơn giản trong 'Các phương pháp giải phương trình hàm' (không biết tác giả).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 26-08-2012 - 10:07

[Crystal]

Cho $f:R \rightarrow R$ thỏa:
$f(x)+f(5x)=\frac{0,5}{x-0,5}$
( x \in R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\} )
Tìm hàm f ?

Phương trình đã cho được viết lại:
\[f\left( {\frac{x}{5}} \right) + f\left( x \right) = \frac{5}{{2x - 5}} \Leftrightarrow f\left( {\frac{x}{5}} \right) + f\left( x \right) = \frac{5}{{6\left( {2x - 5} \right)}} + \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} = - \left[ {f\left( {\frac{x}{5}} \right) - \frac{5}{{6\left( {2x - 5} \right)}}} \right]\,\]
Từ phương trình, cho $x=0$ được: $f\left( 0 \right) = - \frac{1}{2}$.

Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} \Rightarrow g\left( 0 \right) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{1}{3}$.

Ta có $g(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, theo cách đặt trên suy ra: $g\left( x \right) = - g\left( {\frac{x}{5}} \right),\,\,\forall x \in R$.

Suy ra: $g\left( x \right) = - g\left( {\frac{x}{5}} \right) = g\left( {\frac{x}{{{5^2}}}} \right) = ... = {\left( { - 1} \right)^n}g\left( {\frac{x}{{{5^n}}}} \right),\,\,n \in \mathbb{N}$

Từ lập luận trên, suy ra $g\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}}$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

[robin997]

...^^,

Hình như anh có chút nhầm lẫn ở chỗ đặt g. Ta có:
$g(\frac{x}{5})=f(\frac{x}{5})-\frac{125}{6(2x-25)}$

[Crystal]

Hình như anh có chút nhầm lẫn ở chỗ đặt g. Ta có:
$g(\frac{x}{5})=f(\frac{x}{5})-\frac{125}{6(2x-25)}$

Em có đáp án thì gửi lên anh tham khảo với. Có lẽ phải test lại.

[robin997]

Em có đáp án thì gửi lên anh tham khảo với. Có lẽ phải test lại.

Hì...đề do em tự tạo thì cũng có thể đảo lại đươc chớ
Đáp án thì em chẳng cần...nhưng em cần một phương pháp giải
Lần trước em có thấy trên diễn đàn có một bài thế này:
$3f\left(\frac{x-1}{3x+2} \right)-5f\left(\frac{1-x}{x-2} \right)=\frac{8}{x-1}$
Vậy có phương pháp giải chung cho dạng này không?
Trở lại với bài trước:
Ta đặt như sau:
-Lấy $f(x)=g(\frac{0,5}{x-1})$
-Thay $x$ bởi $\frac{x}{2x-2}$
Và cuối cùng là:
$g\left(\frac{x-1}{3x+2} \right)+g\left(\frac{1-x}{x-2} \right)=(x-1)+1$
Hàm này giống giống cái bài kia chứ nhỉ ^^,
Nếu được.. cho em xin phương pháp chung cho phương trình:
$af(x)+bf(cx)=w(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 26-08-2012 - 17:34

[robin997]

...

Nếu anh rãnh... nhờ anh xem giùm em bài này nha

[Crystal]

Lần trước em có thấy trên diễn đàn có một bài thế này:
$3f\left(\frac{x-1}{3x+2} \right)-5f\left(\frac{1-x}{x-2} \right)=\frac{8}{x-1}$
Vậy có phương pháp giải chung cho dạng này không?
....

Với những dạng toán thế này thì thường dùng phương pháp hệ số bất định.

Em thử với bài này xem sao nhé.

[The Gunner]

Hì...đề do em tự tạo thì cũng có thể đảo lại đươc chớ
Đáp án thì em chẳng cần...nhưng em cần một phương pháp giải
Lần trước em có thấy trên diễn đàn có một bài thế này:
$3f\left(\frac{x-1}{3x+2} \right)-5f\left(\frac{1-x}{x-2} \right)=\frac{8}{x-1}$
Vậy có phương pháp giải chung cho dạng này không?
Trở lại với bài trước:
Ta đặt như sau:
-Lấy $f(x)=g(\frac{0,5}{x-1})$
-Thay $x$ bởi $\frac{x}{2x-2}$
Và cuối cùng là:
$g\left(\frac{x-1}{3x+2} \right)+g\left(\frac{1-x}{x-2} \right)=(x-1)+1$
Hàm này giống giống cái bài kia chứ nhỉ ^^,
Nếu được.. cho em xin phương pháp chung cho phương trình:
$af(x)+bf(cx)=w(x)$

Phương trình đã cho được viết lại:
\[f\left( {\frac{x}{5}} \right) + f\left( x \right) = \frac{5}{{2x - 5}} \Leftrightarrow f\left( {\frac{x}{5}} \right) + f\left( x \right) = \frac{5}{{6\left( {2x - 5} \right)}} + \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} = - \left[ {f\left( {\frac{x}{5}} \right) - \frac{5}{{6\left( {2x - 5} \right)}}} \right]\,\]
Từ phương trình, cho $x=0$ được: $f\left( 0 \right) = - \frac{1}{2}$.

Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} \Rightarrow g\left( 0 \right) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{1}{3}$.

Ta có $g(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, theo cách đặt trên suy ra: $g\left( x \right) = - g\left( {\frac{x}{5}} \right),\,\,\forall x \in R$.

Suy ra: $g\left( x \right) = - g\left( {\frac{x}{5}} \right) = g\left( {\frac{x}{{{5^2}}}} \right) = ... = {\left( { - 1} \right)^n}g\left( {\frac{x}{{{5^n}}}} \right),\,\,n \in \mathbb{N}$

Từ lập luận trên, suy ra $g\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) - \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}}$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{25}}{{6\left( {2x - 5} \right)}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Hai chỗ được tô đỏ là nên xem lại,
1) cách đặt $g$ từ $f$ của robin97 là ko tồn tại vì bậc của biến là lệch nhau
2) chỗ anh WWW là $f$ chưa chắc liên tục nên $g$ chưa chắc liên tục
3) mình nghĩ đề này thiếu một dữ kiện ví dụ như liên tục chẳng hạn