Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
$$a^4+b^4+c^4+(ab+bc+ca)\left (a^2+b^2+c^2\right ) \ge 4\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right )$$

[nthoangcute]

Bài toán này khá hay nên cũng cần lời giải ngắn gọn:
Dễ dàng chứng minh được các BĐT phụ:
a) $2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2 > 0$
b) $a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2c-c^2a-ab^2-bc^2-ca^2 \geq 0$
c) $a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca \geq 0$
Áp dụng ta được:
$$\frac{4}{3}(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3abc-a^2b-b^2c-c^2a-ab^2-bc^2-ca^2)+\frac{1}{3}(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+(ab+bc+ca)\left (a^2+b^2+c^2\right ) \ge 4\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right )$$