Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán [Panagiote Ligouras]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4 =3$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^3+b}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3+c}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{c^3+a}{a^2-ab+b^2} \le \dfrac{3+ab+bc+ca}{abc}$$

[WhjteShadow]

Bài toán [Panagiote Ligouras]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4 =3$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^3+b}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3+c}{c^2-ca+a^2}+\dfrac{c^3+a}{a^2-ab+b^2} \le \dfrac{3+ab+bc+ca}{abc}$$

Bài này nhẹ thế a Mít =))
The0 $AM-GM$ ta có: $b^2+c^2\geq 2bc\to b^2-bc+c^2\geq bc$
$\to \frac{a^3+b}{b^2-bc+c^2}\leq \frac{a^3+b}{bc}=\frac{a^4+ab}{abc}$
Tương tự và cộng lại ta có:
$$\frac{a^3+b}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3+c}{c^2-ca+ca2}+\frac{c^3+a}{a^2-ab+b^2}\leq \frac{a^4+b^4+c^4+ab+bc+ca}{abc}$$
$$=\frac{3+ab+bc+ca}{abc}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-09-2012 - 12:06