Chủ đề này có 4 trả lời

[CelEstE]

Cho $a,b,c >0$ Chứng minh :
$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 01-09-2012 - 22:39

[tkvn97]

$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Có điều kiện a, b, c > 0 không hả bạn

[CelEstE]

có mình quên chép vào lại thiếu nữa)

[duongchelsea]

$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

Ta áp dụng bđt Schawz
$$\sum \frac{1}{16a}+\frac{1}{16a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{16c}\geq \sum \frac{4^2}{32a+16b+16c}=\sum \frac{1}{2a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{8a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{16b}\geq \sum \frac{1}{2a+b+c}$$
Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 01-09-2012 - 21:20

[triethuynhmath]

$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

$\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{1}{a+b}+\sum \frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{8}(\sum \frac{1}{a})(Q.E.D)$