Chủ đề này có 1 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $n,k$ là các số tự nhiên thỏa mãn n không chia hết cho 3 và $k\geq n$.
Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương t sao cho $t\vdots n$ và $S(t)=k$
$S(t)$ là tổng các chữ số của t

[nguyenta98]

Cho $n,k$ là các số tự nhiên thỏa mãn n không chia hết cho 3 và $k\geq n$.
Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương t sao cho $t\vdots n$ và $S(t)=k$
$S(t)$ là tổng các chữ số của t

Giải như sau:
Trước tiên ta thấy nếu $n=2^x.5^y.l$ với $gcd(l,2,5)=1$ thì khi ấy ta có ta sẽ thêm vào sau số $t$ một số chữ số $0$ là $x+y$ chữ số $0$ khi đó cũng có số thỏa mãn mà không làm thay đổi gì đến tổng chữ số của $t$
Do vậy ta chỉ xét $gcd(n,2,5)=1$
Ta nhận thấy luôn tồn tại số $x$ sao cho $10^x-1 \vdots n$
Khi ấy các số có dạng $10^{ix}-1 \vdots n$ và số có dạng $10^{jx+1}-10 \vdots n$
Như vậy chọn $t=10^{x}+10^{2x}+...+10^{ux}+10^{x+1}+10^{2x+1}+...+10^{vx+1}$
Hiển nhiên thấy vì $x>1$ nên ta xét hai tập $(x,2x,...,ux)$ và $(x+1,2x+1,...,vx+1)$
Dễ thấy trong hai tập trên không có hai số nào bằng nhau, thật vậy nếu có hai số bằng nhau ở hai tập khác nhau là $mx=nx+1 \Rightarrow x(m-n)=1 \Rightarrow x=1$ vô lí vì $x>1$
Suy ra ngay $t$ có tổng chữ số là $u+v$
Khi ấy có $S(t)=u+v=k$
Mặt khác $t \vdots n \Rightarrow 10^{x}+10^{2x}+...+10^{ux}+10^{x+1}+10^{2x+1}+...+10^{vx+1} \vdots n \Rightarrow (-1).u+(-10).v \vdots n \Rightarrow u+10v \vdots n$
Giờ ta cần chứng minh tồn tại $u,v$ sao cho
$u+v=k$
$u+10v \vdots n$ là xong
Thay $u=k-v$ suy ra $k+9v \vdots n$ giờ đây ta giả sử $k \equiv p \pmod{n}$
Khi ấy $k+9v \vdots n \Rightarrow x+9v \vdots n$ giả sử tiếp $v \equiv z \pmod{n}$
Do đó suy ra $x+9z \vdots n$, ta xét $x+9.0,x+9.1,x+9.2,...,x+9.(n-1)$ ta thấy mọi số trên đều có số dư khác nhau khi chia cho $n$ vì giả sử ngược lại suy ra tồn tại $x+9.a \equiv x+9.b \pmod{n} \Rightarrow 9(a-b) \vdots n \Rightarrow a-b \vdots n$ (do $gcd(n,9)=1$)
Như vậy vô lí vì $a,b<n$
Do đó tồn tại $z$ để $x+9z \vdots n$ hay tồn tại $v$ nhỏ hơn $k$ mà $k+9v \vdots n$ khi ấy có số $t$ thỏa mãn nên có ngay $đpcm$