Trong đề thi các em gặp vấn đề này ở các bài toán chẳng hạn như:
Bài toán: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-5$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left( 2,3 \right)$.
Để làm được bài toán này cần hiểu được:
- Đồng biến là gì?
- Để làm bài toán này cần thực hiện công việc gì?
A – Lý thuyết
1. Định nghĩa:
Kí hiệu: $K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng và hàm số $\left( C\right): y= f \left( x \right)$ xác định trên $K$.
Hàm số $y=f \left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ tăng mà $x$ giảm thì $y$ giảm, tức là:
$$\forall x_1,x_2 \in K : x_1<x_2 \Rightarrow f\left( x_1 \right)<f\left( x_2\right).$$
Ngược lại, $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ giảm mà $x$ giảm thì $y$ tăng, tức là:
$$\forall x_1,x_2 \in K : x_1<x_2 \Rightarrow f\left( x_1 \right)>f\left( x_2\right).$$
$y=f\left( x \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ thì ta nói chung là $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $K$.
Chú ý:$K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng.
2. Định lý: (Cách xét tính đơn điệu của hàm số):
Cho hàm số $\left( C\right)$ : $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$:
- $\left( C\right)$ đồng biến trên$K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.
- $\left( C\right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\leq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.
Nhận xét:
1. Việc xét tính đơn điệu của hàm số được quy về việc xét dấu biểu thức đạo hàm của nó!
2. Với 3 loại hàm ta xét, có thể bỏ điều kiện “bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$”
3. Trong ba loại hàm:
Hàm đa thức bậc 3:
$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{3}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c,\left( a\ne 0 \right)$$
Hàm đa thức bậc 4 trùng phương:
$$y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\Rightarrow y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right),\left( a\ne 0 \right)$$
Hàm đa thức bậc nhất trên bậc nhất:
$$y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow y'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$$
(dấu không phụ thuộc vào biến $x$)
Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm $y’$ hoặc là rất đơn giản hoặc là quy về bài toán tam thức bậc 2
Edited by Nesbit, 24-05-2013 - 01:19.