Chủ đề này có 8 trả lời

[DarkBlood]

Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$

[25 minutes]

Xét đồng dư của n cho 7 thôi bạn à?

[nthoangcute]

Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$

Ta có: $n^{7}-n=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7n(n-1)(n+1)(2n^2-5)$
Nên ta có đpcm

[Crystal]

Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$

Bài toán này được giải quyết nhanh chóng khi các bạn biết đến định lí Fermat nhỏ.

Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N},p \ge 2$ là số nguyên tố. Ta luôn có: ${n^p} - n\,\, \vdots \,\,p$.

Ở bài toán trên, $p=7$ là số nguyên tố nên luôn đúng.

[nthoangcute]

Bài toán này được giải quyết nhanh chóng khi các bạn biết đến định lí Fermat nhỏ.

Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N},p \ge 2$ là số nguyên tố. Ta luôn có: ${n^p} - n\,\, \vdots \,\,p$.

Ở bài toán trên, $p=7$ là số nguyên tố nên luôn đúng.

Định lý Fermat nhỏ có thể giải quyết nhanh chóng khi mọi người biết đến định lý Euler.

Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N}$ và $m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_k} $ (với $p_1,p_2,...,p_k$ là các số nguyên tố phân biệt) thỏa mãn $(n,m)=1$. Ta luôn có: $n^{m\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)}-1 \vdots m$

Ở định lý Fermat trên, $p$ là số nguyên tố nên luôn đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 18-09-2012 - 16:27

[Crystal]

Định lí Fermat nhỏ có thể được chứng minh với việc sử dụng Nhị thức Newton. Do đây là box THCS nên không tiện gửi lên. Nếu các bạn muốn tham khảo, mình sẽ gửi.

[nthoangcute]

Định lí Fermat nhỏ có thể được chứng minh với việc sử dụng Nhị thức Newton. Do đây là box THCS nên không tiện gửi lên. Nếu các bạn muốn tham khảo, mình sẽ gửi.

Định lý Euler có thể được chứng minh với việc sử dụng Hoán vị mô-đun. Do đây là box THCS nên không tiện gửi lên. Nếu các bạn muốn tham khảo, mình trình bày sơ qua về lời giải:

Đặt $\varphi(m)=m\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)$
Ta sẽ chứng minh $n^{\varphi(m)}\equiv 1\;(\mod m)$
Gọi $n_1,n_2,...,n_{\varphi(n)}$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Với mọi 2 số phân biệt $i, j \in \{1,2,...,\varphi(n)\}$:
$(a_i,m)=(a_j,m)=1\Rightarrow (aa_i,m)=(aa_j,m)=1;aa_i\not\equiv aa_j \;(\mod n)$
Do vậy $aa_1,aa_2,...,aa_{\varphi(n)}$ à một hoán vị theo mô-đun $n$ của $a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}$
Suy ra $a_1a_2,...,a_{\varphi(n)}\equiv (aa_1)(aa_2)...(aa_{\varphi(n)}) \equiv a^{\varphi(n)}a_1a_2...a_{\varphi(n)}\;(\mod m)$
Suy ra $n^{\varphi(m)}\equiv 1\;(\mod m)$

[DarkBlood]

Ta có: $n^{7}-n=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7n(n-1)(n+1)(2n^2-5)$
Nên ta có đpcm

Bạn giải kĩ ra giùm mình nhé

[25 minutes]

Lớp 8 hay cấp 2 là có thể dùng đồng dư thức để chứng minh các bài toán chia hết rồi mà bạn,còn cách phân tách của bạn nthoangcute chỉ là phân tách thành tích của 7 số nguyên liên tiếp cộng hoặc trừ 1 lượng chia hết cho 7 là ok?