Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$
#1
Đã gửi 18-09-2012 - 11:58
#3
Đã gửi 18-09-2012 - 14:05
Ta có: $n^{7}-n=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7n(n-1)(n+1)(2n^2-5)$Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$
Nên ta có đpcm
- BlackSelena và DarkBlood thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#4
Đã gửi 18-09-2012 - 15:16
Chứng minh $n^{7}-n$ chia hết cho 7 với $n\epsilon Z$
Bài toán này được giải quyết nhanh chóng khi các bạn biết đến định lí Fermat nhỏ.
Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N},p \ge 2$ là số nguyên tố. Ta luôn có: ${n^p} - n\,\, \vdots \,\,p$.
Ở bài toán trên, $p=7$ là số nguyên tố nên luôn đúng.
- BlackSelena, nthoangcute và DarkBlood thích
#5
Đã gửi 18-09-2012 - 15:39
Định lý Fermat nhỏ có thể giải quyết nhanh chóng khi mọi người biết đến định lý Euler.Bài toán này được giải quyết nhanh chóng khi các bạn biết đến định lí Fermat nhỏ.
Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N},p \ge 2$ là số nguyên tố. Ta luôn có: ${n^p} - n\,\, \vdots \,\,p$.
Ở bài toán trên, $p=7$ là số nguyên tố nên luôn đúng.
Phát biểu định lí: Với mọi $n \in \mathbb{N}$ và $m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_k} $ (với $p_1,p_2,...,p_k$ là các số nguyên tố phân biệt) thỏa mãn $(n,m)=1$. Ta luôn có: $n^{m\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)}-1 \vdots m$
Ở định lý Fermat trên, $p$ là số nguyên tố nên luôn đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 18-09-2012 - 16:27
- DarkBlood yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#6
Đã gửi 18-09-2012 - 15:56
- nthoangcute và DarkBlood thích
#7
Đã gửi 18-09-2012 - 16:40
Định lý Euler có thể được chứng minh với việc sử dụng Hoán vị mô-đun. Do đây là box THCS nên không tiện gửi lên. Nếu các bạn muốn tham khảo, mình trình bày sơ qua về lời giải:Định lí Fermat nhỏ có thể được chứng minh với việc sử dụng Nhị thức Newton. Do đây là box THCS nên không tiện gửi lên. Nếu các bạn muốn tham khảo, mình sẽ gửi.
Đặt $\varphi(m)=m\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)$
Ta sẽ chứng minh $n^{\varphi(m)}\equiv 1\;(\mod m)$
Gọi $n_1,n_2,...,n_{\varphi(n)}$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Với mọi 2 số phân biệt $i, j \in \{1,2,...,\varphi(n)\}$:
$(a_i,m)=(a_j,m)=1\Rightarrow (aa_i,m)=(aa_j,m)=1;aa_i\not\equiv aa_j \;(\mod n)$
Do vậy $aa_1,aa_2,...,aa_{\varphi(n)}$ à một hoán vị theo mô-đun $n$ của $a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}$
Suy ra $a_1a_2,...,a_{\varphi(n)}\equiv (aa_1)(aa_2)...(aa_{\varphi(n)}) \equiv a^{\varphi(n)}a_1a_2...a_{\varphi(n)}\;(\mod m)$
Suy ra $n^{\varphi(m)}\equiv 1\;(\mod m)$
- DarkBlood yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#8
Đã gửi 20-09-2012 - 20:39
Bạn giải kĩ ra giùm mình nhéTa có: $n^{7}-n=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7n(n-1)(n+1)(2n^2-5)$
Nên ta có đpcm
#9
Đã gửi 21-09-2012 - 00:50
- nthoangcute yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh