Chủ đề này có 6 trả lời

[alibaba00]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Cho các số thực $a+b+c=0$.Chứng minh $ab+2bc+3ca \leqslant 0$
2)Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh $1<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}<2$
3)Cho $x,y>0;xy=1$.Chứng minh $\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4} \leqslant 1$
4)Chứng minh $\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \leqslant \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$
5)Cho $x-y=1$.Tìm GTNN của $A=x^3-y^3$ và $B=2x^2+y^2$
6)Tìm GTNN $A=(x-1)^4+(x-3)^4+6(x-1)^2(x-3)^2$
7)Cho các số dương a,b thỏa $\dfrac{a}{1+a}\dfrac{2}{1+b}=1$chứng minh $ab^2 \leqslant \dfrac{1}{8}$
8)Cho bốn số dương chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b} \geqslant 2$

[Math Is Love]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Cho các số thực $a+b+c=0$.Chứng minh $ab+2bc+3ca \leqslant 0$
2)Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh $1<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}<2$
3)Cho $x,y>0;xy=1$.Chứng minh $\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4} \leqslant 1$
4)Chứng minh $\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \leqslant \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$
5)Cho $x-y=1$.Tìm GTNN của $A=x^3-y^3$ và $B=2x^2+y^2$
6)Tìm GTNN $A=(x-1)^4+(x-3)^4+6(x-1)^2(x-3)^2$
7)Cho các số dương a,b thỏa $\dfrac{a}{1+a}\dfrac{2}{1+b}=1$chứng minh $ab^2 \leqslant \dfrac{1}{8}$
8)Cho bốn số dương chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b} \geqslant 2$

Câu 5 phần a:
Ta có:
$A=x^3-y^3=(x-y)^{3}+3xy(x-y)=1+3xy$
Có$y=x-1$ nên $3xy=3(x^{2}-x)\geqslant \frac{-3}{4}$
Vậy min A=$\frac{1}{4}$ khi $x=0,5;y=-0,5$

[ckuoj1]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Cho các số thực $a+b+c=0$.Chứng minh $ab+2bc+3ca \leqslant 0$
2)Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh $1<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}<2$
3)Cho $x,y>0;xy=1$.Chứng minh $\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4} \leqslant 1$
4)Chứng minh $\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \leqslant \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$
5)Cho $x-y=1$.Tìm GTNN của $A=x^3-y^3$ và $B=2x^2+y^2$
6)Tìm GTNN $A=(x-1)^4+(x-3)^4+6(x-1)^2(x-3)^2$
7)Cho các số dương a,b thỏa $\dfrac{a}{1+a}\dfrac{2}{1+b}=1$chứng minh $ab^2 \leqslant \dfrac{1}{8}$
8)Cho bốn số dương chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b} \geqslant 2$

Chém nhanh bài 2 nào:
$\sum \frac{a}{b+c}> \sum \frac{a}{a+b+c}=1$
Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác $\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}< \sum \frac{a+b}{b+c}=2$
=> đpcm

[BlackSelena]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
8)Cho bốn số dương chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b} \geqslant 2$

Câu này là Nesbitt 4 biến :>
Đặt
$S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b}$
$M = \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} + \frac{a}{a+b}$
$N = \frac{c}{b+c} + \frac{d}{c+d} + \frac{a}{d+a} + \frac{b}{a+b}$
Khi đó, ta có $M + S \geq 4$ và $N + S \geq 4$
Mặt khác, ta có $M+N = 4$
Vậy $M+N + 2S \geq 8 \Rightarrow S \geq 2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d$

[ckuoj1]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)Cho các số thực $a+b+c=0$.Chứng minh $ab+2bc+3ca \leqslant 0$
2)Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh $1<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}<2$
3)Cho $x,y>0;xy=1$.Chứng minh $\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4} \leqslant 1$
4)Chứng minh $\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \leqslant \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$
5)Cho $x-y=1$.Tìm GTNN của $A=x^3-y^3$ và $B=2x^2+y^2$
6)Tìm GTNN $A=(x-1)^4+(x-3)^4+6(x-1)^2(x-3)^2$
7)Cho các số dương a,b thỏa $\dfrac{a}{1+a}\dfrac{2}{1+b}=1$chứng minh $ab^2 \leqslant \dfrac{1}{8}$
8)Cho bốn số dương chứng minh
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b} \geqslant 2$

Bài 8 chính là BĐT Nesbit 4 biến:
( theo cách chứng minh của a.Hùng trong Sáng tạo BĐT)
Đặt M= $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$
$N= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}$
P= $P= \frac{d}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}$
Ta có N+P =4
Dễ dàng chứng minh $M+N\geq 4 và M+P\geq 4$
$M\geq 2$ (đpcm)

[BlackSelena]

Bài 1:
Thế $b = -(c+a)$ vào bđt cần chứng minh thì:
$$Q.e.D\Leftrightarrow -a(a+c)-2c(a+c)+3ac\leq 0$$

$$\Leftrightarrow a^2+2c^2\geq 0$$
Luôn đúng, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=0$

[BlackSelena]

Bài 3: Thuần $AM-GM$ mẫu X_X
$\frac{x}{x^4+y^2} + \frac{y}{y^4+x^2} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Bài 4 cũng vậy thôi, nhưng đánh giá thêm khúc cuối là có $\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4} + \frac{1}{c^4} \geq 2(\sum \frac{1}{a^2b^2})$