Chủ đề này có 3 trả lời

[dien9c]

Tìm $a,b,c$ nguyên dương sao cho $a^2+1,b^2+1$ nguyên tố và $(a^2+1)(b^2+1)=c^2+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-09-2012 - 17:44

[Secrets In Inequalities VP]

Tìm $a,b,c$ nguyên dương sao cho $a^2+1,b^2+1$ nguyên tố và $(a^2+1)(b^2+1)=c^2+1$

Giả sử $a\geq b$
Ta có : $(a^2+1)(b^2+1)=c^2+1\Leftrightarrow a^2b^2+a^2+b^2= c^2$
$\Leftrightarrow b^2(a^2+1)=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$
Vì $a^2+1$ nguyên tố nên $a^2+1\mid c-a$ hoặc $a^2+1\mid c+a$
Trong cả hai TH này ta đều có : $c+a\geq a^2+1$ $\Rightarrow c\geq a^2-a+1$
$\Rightarrow b^2(a^2+1)=(c-a)(c+a)\geq (a^2+1)(a-1)^2\Rightarrow b^2\geq (a-1)^2$
$\Rightarrow b\geq a-1$ .Mà $b\leq a$ do đó $b= a$ hoặc $b= a-1$
Thay vào dễ dàng giải ra nghiệm .

[minhson95]

Với $a=b$ ta có
$(a^2+1)^2=c^2+1$
$\leftrightarrow (a^2+1-c)(a^2+1+c)=1$
$\rightarrow (a,b,c)=(0,0,0)$ (loại do a,b là các số nguyên dương)

Với $b=a-1$ ta có:
$(a^2+1)[(a^2-1)^2+1]=c^2+1$

Đến đây thì mình không biết giải tiếp mọi người giúp với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 29-10-2012 - 12:09

[Secrets In Inequalities VP]

Với $b=a-1$ $\Rightarrow b^2+1< a^2+1$
Xét hiệu : $a^2+1-(b^2+1)= a^2+1-[(a-1)^2+1]= 2a-1$ là số lẻ nên
1 trong 2 số trên có 1 số chẵn , mà cả 2 số trên đều nguyên tố và $b^2+1< a^2+1$
nên $b^2+1= 2\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2\Rightarrow c=3$