Chủ đề này có 4 trả lời

[pcfamily]

Cho các số a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ac}$

[tim1nuathatlac]

Cho các số a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ac}$

Chém nhanh

$\frac{1}{\sum a^{2}}+\frac{1}{\sum ab}+\frac{1}{\sum ab}+\frac{2010}{\sum ab}\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{2010}{\sum ab}\geq 671$

Dấu "=" xảy ya khi a=b=c=1

Bài trên đẵ sd 2 bđt sau $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$ và $3\sum ab\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 30-09-2012 - 22:31

[Mai Xuan Son]

Cho các số a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ac}$

Ta có: $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq 3$ (1)

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}\geq \frac{9}{9}=1$
Ta tách như sau
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2010}{ab+bc+ac}$
Dùng (1),ta có: min=1+670=671
dấu = xảy ra khi a=b=c=1

[tim1nuathatlac]

Cho các số a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ac}$

Thêm cách nữa

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz có:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2012(ab+bc+ac)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{(a+b+c)^{2}+2010(ab+bc+ca)}$
Có ab+bc+ac $\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{9+2010.3}=671$

[Mai Xuan Son]

Thêm cách nữa

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz có:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2012(ab+bc+ac)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{(a+b+c)^{2}+2010(ab+bc+ca)}$
Có ab+bc+ac $\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2012}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2013^{2}}{9+2010.3}=671$

Rõ hơn là dạng Engle