Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$
Bắt đầu bởi yellow, 02-10-2012 - 11:37
#1
Đã gửi 02-10-2012 - 11:37
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 02-10-2012 - 11:43
Ta có $\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(m+n)(a+b+c)}=\frac{1}{m+n}(a+b+c)$Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$
- WhjteShadow và yellow thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#3
Đã gửi 02-10-2012 - 11:45
Đẳng thức xảy ra không anh.Ta có $\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(m+n)(a+b+c)}=\frac{1}{m+n}(a+b+c)$
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#4
Đã gửi 02-10-2012 - 11:52
Bạn chú ý đây là bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel, dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{ma+nb}=\dfrac{b}{mb+nc}=\dfrac{c}{mc+na}$.Đẳng thức xảy ra không anh.
- L Lawliet, nthoangcute, yellow và 1 người khác yêu thích
Giá như... ai đó biết rằng: Mình nhớ ai đó lắm...
Giá như... ai đó biết: Mình yêu ai đó thật nhiều...
Giá như... ai đó biết: Mình yêu ai đó thật nhiều...
#5
Đã gửi 02-10-2012 - 16:16
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$
$\frac{a^2}{ma+nb} +\frac{ma+nb}{(m+n)^2} \geq 2 \sqrt{\frac{a^2}{ma+nb} .\frac{ma+nb}{(m+n)^2}}=\frac{2a}{m+n}$
Tương tự:
$\frac{b^2}{mb+nc}+ \frac{mb+nc}{(m+n)^2} \geq \frac{2b}{m+n}$
$\frac{c^2}{mc+na}+ \frac{mc+na}{(m+n)^2} \geq \frac{2c}{m+n}$
Cộng từng vể 3bdt trên ta thu được:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} +\frac{a+b+c}{m+n} \geq \frac{2a+2b+2c}{m+n} $
Từ đó suy ra dpcm
- ducthinh26032011 và yellow thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh