Chủ đề này có 4 trả lời

[yellow]

Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$

[nthoangcute]

Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$

Ta có $\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(m+n)(a+b+c)}=\frac{1}{m+n}(a+b+c)$

[yellow]

Ta có $\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(m+n)(a+b+c)}=\frac{1}{m+n}(a+b+c)$

Đẳng thức xảy ra không anh.

[Dramons Celliet]

Đẳng thức xảy ra không anh.

Bạn chú ý đây là bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel, dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{ma+nb}=\dfrac{b}{mb+nc}=\dfrac{c}{mc+na}$.

[thaptam]

Cho $a,b,c,m,n>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na}\geq \frac{1}{m+n}(a+b+c)$

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
$\frac{a^2}{ma+nb} +\frac{ma+nb}{(m+n)^2} \geq 2 \sqrt{\frac{a^2}{ma+nb} .\frac{ma+nb}{(m+n)^2}}=\frac{2a}{m+n}$
Tương tự:
$\frac{b^2}{mb+nc}+ \frac{mb+nc}{(m+n)^2} \geq \frac{2b}{m+n}$
$\frac{c^2}{mc+na}+ \frac{mc+na}{(m+n)^2} \geq \frac{2c}{m+n}$
Cộng từng vể 3bdt trên ta thu được:
$\frac{a^2}{ma+nb}+\frac{b^2}{mb+nc}+\frac{c^2}{mc+na} +\frac{a+b+c}{m+n} \geq \frac{2a+2b+2c}{m+n} $
Từ đó suy ra dpcm