Chủ đề này có 3 trả lời

[pcfamily]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ac}{a+c}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}\geq a+b+c$

[WhjteShadow]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ac}{a+c}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}\geq a+b+c$

Ta có điều phải chứng minh sẽ tương đương:
$$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+a+\frac{b^{2}+ac}{a+c}+b+\frac{c^{2}+ab}{a+b}+c\geq 2(a+b+c)$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)}{a+c}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}+\frac{(a+b)(c+a)}{b+c}\geq 2(a+b+c)$$
Đặt $a+b=z,b+c=x,a+c=y$ thì ta cần chứng minh:
$$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z$$
Và bất đẳng thức này đúng the0 $AM-GM$: $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\geq 2x\\ \frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq 2z\\ \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y$
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c$ $\square$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)(a-c)}{b+c}\geq 0$(đúng theo Vornicu Schur)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 04-10-2012 - 22:38

[duongvanhehe]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ac}{a+c}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}\geq a+b+c$

Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
$\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ca}{c+a}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}=\sum \frac{(a^{2}+bc)^{2}}{(b+c)(a^{2}+bc)}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)^{2}}{(b+c)(a^{2}+bc)+(c+a)(b^{2}+ca)+(a+b)(a^{2}+ab)}$
$=\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)^{2}}{2(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))}$
Giờ ta cần chứng minh:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)^{2}\geq 2(a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+2\sum ab(a^{2}+b^{2})+4abc(a+b+c)\geq $
$2\sum ab(a+b)^{2}+4abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2}.(a^{2}-b^{2})^{2}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvanhehe: 05-10-2012 - 18:46