Chủ đề này có 5 trả lời

[phamvanha92]

Cho a,b,c >0 và
$x = a +\frac{1}{b}$,
$y = b +\frac{1}{c}$,
$z = c +\frac{1}{a}$,

CMR $xy + yz + xy \leq 2(x+y+z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamvanha92: 07-10-2012 - 21:44

[kobietlamtoan]

Cho a,b,c >0 và
$x = a +\frac{1}{b}$,
$y = b +\frac{1}{c}$,
$z = c +\frac{1}{a}$,

CMR $xy + yz + xy \leq 2(x+y+z)$ ----> $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$

BĐT tưong đương với:

$3+\sum \frac{a}{c}+\sum ab+\sum \frac{1}{ab}\geq 2(a+b+c+\sum \frac{1}{a})$

Chuẩn hóa abc=1đặt:
$a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$ (mình để là x,y,z cho dễ nhìn)
BĐT cần c/m trở thành:

$3+\sum \frac{yz}{x^{2}}\geq \sum \frac{x}{y}+\sum \frac{z}{x}$

Nhân cả 2 vế với 2. BĐT tương dưong với:

$2\sum \frac{yz}{x^{2}}-\sum \frac{x}{y}+\frac{y}{x} - (\sum \frac{x}{y}-3+\sum \frac{y}{x}-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (x-y)^{2}(\frac{zy+zy}{x^{2}y^{2}})- \sum (x-y)^{2}.\frac{1}{xy}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (x-y)^{2}(\frac{zy+zy}{x^{2}y^{2}}-\frac{1}{xy}) \geq 0$

Do đó! $S_{a}= \frac{xy+xz}{y^{2}z^{2}}-\frac{1}{yz}$

$S_{b}= \frac{xy+yz}{x^{2}z^{2}}-\frac{1}{xz}$

$S_{c}= \frac{xz+yz}{x^{2}y^{2}}-\frac{1}{xy}$

Giả sử $x\geq y\geq z$ khi đó! dễ đàng chứng mình được: $S_{b}\geq 0, S_{b}+S_{a}\geq 0$
Ta chỉ cần chứng minh $S_{b}+S_{c}\geq 0$
Thật vậy:

$S_{b}+S_{c}=\frac{xz^{3}+yz^{3}+xy^{3}+zy^{3}-xyz^{2}-xy^{2}z}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

Xét:$(xy^{3}-xy^{2}z) + (xz^{3}-xyz^{2})= xy^{2}(y-z)-xz^{2}(y-z)=(y-z)(xy^{2}-xz^{2}) = (y-z)^{2}(xy+xz)\geq 0$

Ta có đpcm! đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay a=b=c=1

[Secrets In Inequalities VP]

BĐT tưong đương với:

$3+\sum \frac{a}{c}+\sum ab+\sum \frac{1}{ab}\geq 2(a+b+c+\sum \frac{1}{a})$

Chuẩn hóa abc=1đặt:
$a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$ (mình để là x,y,z cho dễ nhìn)

Bài này làm sao mà chuẩn hoá được !
p/s Chiến : A2 à ?
-----------------------------
WhjteShadow: Đề sai sa0 ý Tuấn Anh
Thử với $a=b=10,c=1$
@T.A : Sai thật rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-10-2012 - 08:44

[kobietlamtoan]

Bài này làm sao mà chuẩn hoá được !
p/s Chiến : A2 à ?

mình để x,y,z cho nó dễ nhìn! chứ nếu để m,n,p hay u,v,t thì nó nhìn khoa học quá!
Với lại sao lại k chuẩn hóa đc!???

[Secrets In Inequalities VP]

mình để x,y,z cho nó dễ nhìn! chứ nếu để m,n,p hay u,v,t thì nó nhìn khoa học quá!
Với lại sao lại k chuẩn hóa đc!???

Nó đâu có đồng bậc ?

[kobietlamtoan]

Tại sao lại càn phải đồng bâc nhỉ?
Bạn xem lại gần cuối sách Sáng Tạo trang 66 xem!