Chứng minh rằng $\forall n\epsilon N^{*}$ thì:
A=$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2$
$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2$
Bắt đầu bởi Kir, 12-10-2012 - 20:59
#1
Đã gửi 12-10-2012 - 20:59
Kir
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới
#2
Đã gửi 12-10-2012 - 22:01
duongchelsea
-
- Thành viên
-
- 142 Bài viết
Trung sĩ
Ta có:
$$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})< 2({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$$A<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+2(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})<2$$
Ta có ĐPCM
$$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})< 2({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$$A<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+2(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})<2$$
Ta có ĐPCM
#3
Đã gửi 14-10-2012 - 16:59
Kir
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Ta có:
$$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})< 2({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$$A<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+2(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})<2$$
Ta có ĐPCM
Tại sao $\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})(\sqrt{k}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
Chỗ đó em không hiểu lắm
Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới
#4
Đã gửi 14-10-2012 - 18:22
duongchelsea
-
- Thành viên
-
- 142 Bài viết
Trung sĩ
Chỗ đó là nhân $\sqrt{k}$ với $\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$.Tại sao $\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})(\sqrt{k}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
Chỗ đó em không hiểu lắm
- Kir yêu thích
#6
Đã gửi 14-10-2012 - 20:51
ilovelife
-
- Thành viên
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
nhân $\sqrt(k)$ vào trongKhông phải. Ở vế sau cơ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 14-10-2012 - 20:51
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
