Chủ đề này có 7 trả lời

[hochoidetienbo]

tìm giá trị lớn nhất của A = $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$. biết x, y, z thuộc đoạn [1; 2]


Mong thầy cô và các bạn giải dùm! Em xin cảm ơn nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hochoidetienbo: 13-10-2012 - 13:01

[nthoangcute]

tìm giá trị lớn nhất của A = $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$. biết x, y, z thuộc đoạn [0; 1]

Hình như đề bài đã sai rồi !
VD:
Cho $x=1, y=1$ (thỏa mãn $0 \leq x,y \leq 1$)
Khi đó: $A=\dfrac{(2+z)(2z+1)}{z}$
$A'=\dfrac{2(z-1)(z+1)}{z^2}<0$ với mọi $z \in [0,1]$
Suy ra $A$ nghịch biến trên $[0,1]$
Vậy với $c$ càng nhỏ thì $A$ càng lớn, khi đó $A_{max}=\infty $ khi $c\approx 0$
Điều này chứng tỏ $A$ không tồn tại Max

[hochoidetienbo]

Hình như đề bài đã sai rồi !
VD:
Cho $x=1, y=1$ (thỏa mãn $0 \leq x,y \leq 1$)
Khi đó: $A=\dfrac{(2+z)(2z+1)}{z}$
$A'=\dfrac{2(z-1)(z+1)}{z^2}<0$ với mọi $z \in [0,1]$
Suy ra $A$ nghịch biến trên $[0,1]$
Vậy với $c$ càng nhỏ thì $A$ càng lớn, khi đó $A_{max}=\infty $ khi $c\approx 0$
Điều này chứng tỏ $A$ không tồn tại Max

Mình sửa lại điều kiện rồi! [1;2]

[nthoangcute]

tìm giá trị lớn nhất của A = $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$. biết x, y, z thuộc đoạn [1; 2]


Mong thầy cô và các bạn giải dùm! Em xin cảm ơn nhiều!

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq x \leq y \leq z \leq 2$
Suy ra $(x-y)(y-z) \geq 0$ hay $x y+y z \geq y^2+ x z$
Suy ra $\dfrac{x}{z}+1 \geq \dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y}$
Và $\dfrac{z}{x}+1 \geq \dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}$
Suy ra $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \leq 2+2 (\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})$
Do $(\dfrac{z}{x}-\dfrac{1}{2})(\dfrac{z}{x}-2) \leq 0$ nên $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2}$
Từ đó suy ra $A \leq 10$

[hochoidetienbo]

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq x \leq y \leq z \leq 2$
Suy ra $(x-y)(y-z) \geq 0$ hay $x y+y z \geq y^2+ x z$
Suy ra $\dfrac{x}{z}+1 \geq \dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y}$
Và $\dfrac{z}{x}+1 \geq \dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}$
Suy ra $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \leq 2+2 (\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})$
Do $(\dfrac{z}{x}-\dfrac{1}{2})(\dfrac{z}{x}-2) \leq 0$ nên $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2}$
Từ đó suy ra $A \leq 10$

mình không hiểu chỗ này bạn à:
Do $(\dfrac{z}{x}-\dfrac{1}{2})(\dfrac{z}{x}-2) \leq 0$ nên $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hochoidetienbo: 13-10-2012 - 13:27

[hochoidetienbo]

$1\leqslant x\leqslant 2$ và $\frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{z}\leqslant 1$ suy ra: $(\dfrac{z}{x}-\dfrac{1}{2})(\dfrac{z}{x}-2) \leq 0$ em đem nhân phân phối vào ta có: $(\frac{x}{z})^{2}-\frac{5}{2}\frac{x}{z}+1\leq 0$ sau đó e chia phương trình cho $\frac{x}{z}$ ta được $\frac{x}{z}-\frac{5}{2}+\frac{z}{x}\leqslant$ từ đó suy ra : $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2}$

anh ơi điều kiện dấu bằng xảy ra khi nào, có đồng thời không anh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hochoidetienbo: 15-10-2012 - 00:52

[hochoidetienbo]

có thể lấy 1 trường hợp là được rồi, khi: $x=y$ và $z=2x$ x,y,z nằm trong khoảng đã cho

cảm ơn anh nhiều, em hiểu rồi. Từ hôm qua đến giờ em mới hiểu, nó cũng khó thật. Một lần nữa cảm ơn anh!

[hochoidetienbo]

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq x \leq y \leq z \leq 2$
Suy ra $(x-y)(y-z) \geq 0$ hay $x y+y z \geq y^2+ x z$
Suy ra $\dfrac{x}{z}+1 \geq \dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y}$
Và $\dfrac{z}{x}+1 \geq \dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}$
Suy ra $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \leq 2+2 (\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})$
Do $(\dfrac{z}{x}-\dfrac{1}{2})(\dfrac{z}{x}-2) \leq 0$ nên $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2}$
Từ đó suy ra $A \leq 10$

cuối cùng mình đã hiểu ý bạn, cảm ơn bạn, thán phục vì trong nháy mắt bạn đã giải ra, còn mình thì mất quá nhiều thời gian để hiểu nó!