Cho dãy số $x_n$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{array}{ll}x_1=x_2=x_3=1\\x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n,\ \ \forall n\ge 1 \end{array}\right.$$.
CMR: Với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại chỉ số $k$ sao cho $m|x_k$
$x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$. CMR $\forall m\in \mathbb{N^*}: \exists k:m|x_k$
Bắt đầu bởi minhtuyb, 15-10-2012 - 21:20
#1
Đã gửi 15-10-2012 - 21:20
minhtuyb
-
- Thành viên
-
- 470 Bài viết
Giả ngu chuyên nghiệp
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
#2
Đã gửi 15-10-2012 - 21:40
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5004 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Phải có $x_3=2$ chứ nhỉ?
Lời giải:
Ta bổ sung số $x_0$ vào dãy sao cho $x_0+x_1+x_2=x_3 \Rightarrow x_0=0$
Cố định $m\in \mathbb{N}^*$.
Ta xét $m^3+1$ bộ $(x_i;x_{i+1};x_{i+2})$ với $i=\overline{1;m^3+1}$.
Vì khi chia cho $m$, mỗi số có thể có 1 trong $m$ số dư khác nhau.
Nên một bộ $(x_i;x_{i+1};x_{i+2})$ khi xét đồng dư modulo $m$, có nhiều nhất là $m^3$ bộ khác nhau.
Do có $m^3+1$ bộ nên tồn tại $j>i \ge 1$ sao cho $x_{i+k} \equiv x_{j+k} \pmod m\,\, k \in \lbrace 0;1;2 \rbrace$
\[
\begin{array}{l}
x_{i - 1} = x_{i + 2} - x_{i + 1} - x_i \equiv x_{j + 2} - x_{j + 1} - x_j = x_{j - 1} \left( {\bmod m} \right) \\
\Rightarrow ... \\
\Rightarrow x_0 \equiv x_{j - i} \left( {\bmod m} \right) \\
\end{array}
\]
Vì $j-i>0$ nên đặt $k=j-i \Rightarrow k \in \mathbb{N}^*$ và $x_k \vdots m$
Lời giải:
Ta bổ sung số $x_0$ vào dãy sao cho $x_0+x_1+x_2=x_3 \Rightarrow x_0=0$
Cố định $m\in \mathbb{N}^*$.
Ta xét $m^3+1$ bộ $(x_i;x_{i+1};x_{i+2})$ với $i=\overline{1;m^3+1}$.
Vì khi chia cho $m$, mỗi số có thể có 1 trong $m$ số dư khác nhau.
Nên một bộ $(x_i;x_{i+1};x_{i+2})$ khi xét đồng dư modulo $m$, có nhiều nhất là $m^3$ bộ khác nhau.
Do có $m^3+1$ bộ nên tồn tại $j>i \ge 1$ sao cho $x_{i+k} \equiv x_{j+k} \pmod m\,\, k \in \lbrace 0;1;2 \rbrace$
\[
\begin{array}{l}
x_{i - 1} = x_{i + 2} - x_{i + 1} - x_i \equiv x_{j + 2} - x_{j + 1} - x_j = x_{j - 1} \left( {\bmod m} \right) \\
\Rightarrow ... \\
\Rightarrow x_0 \equiv x_{j - i} \left( {\bmod m} \right) \\
\end{array}
\]
Vì $j-i>0$ nên đặt $k=j-i \Rightarrow k \in \mathbb{N}^*$ và $x_k \vdots m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-10-2012 - 21:05
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
