Chủ đề này có 2 trả lời

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}+\frac{b^{2}+bc+1}{\sqrt{b^{2}+3bc+a^{2}}}+\frac{c^{2}+ca+1}{\sqrt{c^{2}+3ca+b^{2}}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$$

[lehoanghiep]

$\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}=\frac{2a^{2}+ab+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq \frac{\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}+a^{2}+c^{2}}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq \sqrt{\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}+a^{2}+c^{2}}$.
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có $\left ( \frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}+a^{2}+c^{2} \right )\left ( 3+1+1 \right )\geq \left ( \frac{3}{2}\left ( a+b \right )+a+c \right )^{2}$.
Đến đây thì xong rồi!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

♦Từ giả thiết ta có:
$$\sum \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+1-(a-b)^{2}}} \geq \sum \sqrt{a^{2}+ab+1}$$
Như vậy ta cần chưng minh
$$\sqrt{a^{2}+ab+1}+\sqrt{b^{2}+bc+1}+\sqrt{c^{2}+ca+1}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$$
Áp dụng BĐT Minkowski:
$$\sqrt{a^{2}+ab+1}+\sqrt{b^{2}+bc+1}+\sqrt{c^{2}+ca+1}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}+9}=\sqrt{10+2(ab+bc+ca)+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}} $$
Do đó ta chỉ đi chứng minh
$$10+2(ab+bc+ca)+(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2} \geq 5(a+b+c)^{2}$$
$$\Leftrightarrow 5+2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 7(ab+bc+ca)$$
Đặt $\sqrt{a}=p;\sqrt{b}=q;\sqrt{c}=r$
BĐT trên trở thành
$$5(p^{4}+q^{4}+r^{4})+2pqr(p+q+r)\geq 7(p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+r^{2}p^{2})$$
$$(p-q)^{2}[5(p+q)^{2}-2r^{2}]+(q-r)^{2}[5(q+r)^{2}-2p^{2}]+(p-r)^{2}[5(p+r)^{2}-2q^{2}]$$(2)
Đặt $\left\{\begin{matrix}S_{q}=5(p+r)^{2}-2q^{2}
& & \\ S_{r}=5(p+q)^{2}-2r^{2}
& & \\ S_{p}=5(q+r)^{2}-2p^{2}
& &
\end{matrix}\right.$
BĐT (2) có dạng
$$S_{r}(p-q)^{2}+S_{p}(q-r)^{2}+S_{q}(p-r)^{2}$$
Dễ thấy $S_{r}> 0$ và $S_{q}> 0$
*Nếu $S_{p}> 0$ thì BĐT trên hiển nhiên đúng
*Nếu $S_{p}< 0$
Ta có $(q-r)^{2}\leq 2[(p-q)^{2}+(p-r)^{2}]\Rightarrow S_{p}(q-r)^{2}\geq 2S_{p}(p-q)^{2}+2S_{p}(p-r)^{2}$
Ta chỉ cần chỉ ra $S_{q}+2S_{p}> 0$ và$ S_{r}+2S_{p}> 0$
Nhưng $\left\{\begin{matrix}S_{q}+2S_{p}=p^{2}+8q^{2}+15r^{2}+10pr+20qr> 0
& \\ S_{r}+2S_{p}=p^{2}+15q^{2}+8r^{2}+10pq+20qr> 0
&
\end{matrix}\right.$
Hiển nhiên đúng
Vậy từ các điều trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 16-10-2012 - 19:47