Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$$
Bài toán 2.
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$ ta luôn có:
$$\frac{a^2(b+c)}{bc}+\frac{b^2(a+c)}{ac}+\frac{c^2(a+b)}{ab}\geq 6$$

[no matter what]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$$
Bài toán 2.
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$ ta luôn có:
$$\frac{a^2(b+c)}{bc}+\frac{b^2(a+c)}{ac}+\frac{c^2(a+b)}{ab}\geq 6$$

bài 1:sáng tạo BĐT trang 16 kĩ thuật CÔ SI NGƯỢC DẤU
bài 2:
VT=$a^2(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b^2(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
nên nếu GS $a\geq b\geq c$ thì$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{c}$
áp dụng trực tiếp Chebyshev chú ý $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
bđt dc cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 16-10-2012 - 16:03

[pnhungqt]

Bài toán 2.
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$ ta luôn có:
$$\frac{a^2(b+c)}{bc}+\frac{b^2(a+c)}{ac}+\frac{c^2(a+b)}{ab}\geq 6$$

Cách khác:
Ta có: $(b+c)^{2}\geq 4bc\Rightarrow \frac{b+c}{bc}\geq \frac{4}{b+c}\Rightarrow \frac{a^{2}(b+c)}{bc}\geq \frac{4a^{2}}{b+c}$
Vậy nên $\frac{a^2(b+c)}{bc}+\frac{b^2(a+c)}{ac}+\frac{c^2(a+b)}{ab}\geq\frac{4a^{2}}{b+c}+\frac{4b^{2}}{a+c}+\frac{4c^{2}}{b+a}$
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\frac{4a^{2}}{b+c}+\frac{4b^{2}}{a+c}+\frac{4c^{2}}{b+a}\geq \frac{(2a+2b+2c)^{2}}{2a+2b+2c}= 2(a+b+c)=6$
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnhungqt: 16-10-2012 - 16:20